Aloha :)
Du musst prüfen, ob der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert.
zu a) \(f(x)\) ist bei \(x=0\) differenzierbar.$$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}\lim\limits_{h\to0}=\frac{h|h|}{h}=\lim\limits_{h\to0}|h|=0$$Da der Grenzwert exisitert, ist \(f\) bei \(x=0\) differenzierbar und es gilt \(f'(0)=0\).
zu b) \(f(x)\) ist bei \(x=0\) nicht differenzierbar.$$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{h\sin\left(\frac1h\right)-0}{h}=\lim\limits_{h\to0}\sin\left(\frac1h\right)\to\text{nicht defniert}$$Wenn du nicht weißt, dass der Grenzwert von \(\sin\left(\frac1x\right)\) nicht existiert, kannst du dir das mit Hilfe von zwei Nullfolgen$$a_n\coloneqq\frac{1}{2\pi\,n}\to0\quad;\quad b_n\coloneqq\frac{1}{2\pi\,n+\frac{\pi}{2}}\to0$$klar machen, die du für \(x\) einsetzt:
$$\lim\limits_{n\to\infty}\sin\left(\frac1{a_n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\sin\left(2\pi\,n\right)=0$$$$\lim\limits_{n\to\infty}\sin\left(\frac1{b_n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\sin\left(2\pi\,n+\frac\pi2\right)=1$$Beide Grenzwerte sind unterschiedlich. Der Grenzwert müsste aber für alle Nullfolgen einen eindeutigen Wert haben.
zu c) \(f(x)\) ist bei \(x=0\) differenzierbar.$$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{h^2\sin\left(\frac1h\right)-0}{h}=\lim\limits_{h\to0}\left(h\cdot\sin\left(\frac1h\right)\right)\to0$$Da der Grenzwert existiert, ist \(f\) bei \(x=0\) differenzierbar und es gilt \(f'(0)=0\).
Wenn du die Existenz des Grenzwertes nicht kennst und nachweisen möchtest:$$-1\le\sin\left(\frac1h\right)\le1\implies-h\le h\,\sin\left(\frac1h\right)\le h\implies h\,\sin\left(\frac1h\right)\stackrel{(h\to0)}{\to}0$$
