Differenzierbar? Komische Schreibweise...

Question

Hallo, ich komme mit dieser Fragestellung nicht zurecht:

Text erkannt:

5. Sind die folgenden Funktionen für $x=0$ differenzierbar ? Falls ja, berechnen Sie die Ableitung $f^{\prime}(0)$.
a) $f(x)=x|x|$
b) $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x \cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right), \text { für } x \neq 0 \\ 0, \text { für } x=0\end{array}\right.$
c) $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} \cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right), \text { für } x \neq 0 \\ 0, \text { für } x=0\end{array}\right.$

a) ist noch relativ klar. Ist, würde ich sagen, differenzierbar und die Abletung (da Konstante) ist 0. Richtig?

Doch diese Schreibweise bei b) und c) verwirrt mich. Was bedeutet das?
Wie geht man mit dieser Aufgabe um?
Wie prüft man, ob die Funktionen differenzierbar sind?

Danke, für eure Hilfe!

Answer 1

Wenn das Argument x ≠ 0, dann ist der Funktionswert das was oben steht, wenn das Argument x= 0, dann ist der Funktionswert 0. Die Unterscheidung ist nötig, da man nicht durch 0 dividieren kann.

Answer 2

Aloha :)

Du musst prüfen, ob der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert.

zu a) $f(x)$ ist bei $x=0$ differenzierbar.$$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}\lim\limits_{h\to0}=\frac{h|h|}{h}=\lim\limits_{h\to0}|h|=0$$Da der Grenzwert exisitert, ist $f$ bei $x=0$ differenzierbar und es gilt $f'(0)=0$.

zu b) $f(x)$ ist bei $x=0$ nicht differenzierbar.$$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{h\sin\left(\frac1h\right)-0}{h}=\lim\limits_{h\to0}\sin\left(\frac1h\right)\to\text{nicht defniert}$$Wenn du nicht weißt, dass der Grenzwert von $\sin\left(\frac1x\right)$ nicht existiert, kannst du dir das mit Hilfe von zwei Nullfolgen$$a_n\coloneqq\frac{1}{2\pi\,n}\to0\quad;\quad b_n\coloneqq\frac{1}{2\pi\,n+\frac{\pi}{2}}\to0$$klar machen, die du für $x$ einsetzt:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sin\left(\frac1{a_n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\sin\left(2\pi\,n\right)=0$$$$\lim\limits_{n\to\infty}\sin\left(\frac1{b_n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\sin\left(2\pi\,n+\frac\pi2\right)=1$$Beide Grenzwerte sind unterschiedlich. Der Grenzwert müsste aber für alle Nullfolgen einen eindeutigen Wert haben.

zu c) $f(x)$ ist bei $x=0$ differenzierbar.$$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{h^2\sin\left(\frac1h\right)-0}{h}=\lim\limits_{h\to0}\left(h\cdot\sin\left(\frac1h\right)\right)\to0$$Da der Grenzwert existiert, ist $f$ bei $x=0$ differenzierbar und es gilt $f'(0)=0$.

Wenn du die Existenz des Grenzwertes nicht kennst und nachweisen möchtest:$$-1\le\sin\left(\frac1h\right)\le1\implies-h\le h\,\sin\left(\frac1h\right)\le h\implies h\,\sin\left(\frac1h\right)\stackrel{(h\to0)}{\to}0$$

Comments

Hier https://www.mathelounge.de/832526/diese-funktion-differenzierbar-sog… hast du noch das Gegenteil behauptet.

---

Damals war ich noch sehr dumm...

Da hat mich jemand darauf hingewiesen, dass ich was falsch gemacht habe ;)

Danke dir nochmals dafür.