Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen
Auf dem Gebiet \( M \subseteq \mathbb{C} \) sei die komplexe Funktion \( f: M \rightarrow \mathbb{C} \),
\(f(z)=f(x+i y)=u(x, y)+i v(x, y)\)
mit \( u=\operatorname{Re} f \) und \( v=\operatorname{lm} f \) definiert. Dann sind äquivalent:
(i) \( f \) ist holomorph in \( M \).
(ii) \( u \) und \( v \) sind in \( M \) stetig partiell differenzierbar, und die partiellen Ableitungen erfüllen die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen
\(u_{x}(x, y)=v_{y}(x, y), \quad u_{y}(x, y)=-v_{x}(x, y)\)
in jedem Punkt \( z=x+i y \in M \).
Die komplexe Ableitung von \( f \) besitzt dann beide Darstellungen
\(f^{\prime}(z)=f^{\prime}(x+i y)=u_{x}(x, y)+i v_{x}(x, y)=v_{y}(x, y)-i u_{y}(x, y)\)
