Hi,
1)
Hmm in den Vorzeichen ein wenig verspielt. (Zudem in der ersten Zeile fehlt = 0)
Nun bedenke folgendes:
"Ein Produkt ist dann 0, wenn es mindestens ein Faktor ist".
In Deinem Falle haben wir
x als Faktor sowie x^2-4x+4
Also entweder x = 0 oder x^2-4x+4 = 0.
Für letzteres denke and die zweite binomische Formel:
x1 = 0 und x^2-4x+4 = (x-2)^2 --> x2,3 = 2
--> N1(0|0) und N2(2|0)
2)
Für die Steigung brauchen wir erstmal die Ableitung.
f'(x) = -9x^2 + 24x-12
Nun sind wir an der Steigung an der Stelle x = 0 und an der Stelle x = 2 interessiert.
x = 0
f'(0) = -12
Die Steigung an der Stelle x = 0 ist -12.
x = 2
Hier braucht man gar nicht einzusetzen. Das ist eine doppelte Nullstelle und damit direkt ein Extremum. Ein Extremum hat aber immer die Steigung 0. Die Steigung ist also 0.
Kontrolle mit f'(2) = 0 -> passt
3)
Für das Bestimmen der Extrema braucht es zusätzlich noch die zweite Ableitung. Also um sie zu klassifizieren.
f''(x) = -18x+24
Suchen der infrage kommenden Extremstellen:
f'(x) = -9x^2+24x-12 = 0 |:(-9), dann pq-Formel
x1 = 2/3 und x2 = 2
Letzteres wussten wir ja schon. Hatten ja schon gesagt, dass das eine Nullstelle sein muss. Haben wir hiermit nochmals bestätigt. Nun in die zweite Ableitung einsetzen um herauszufinden, um welche Extremstelle es sich handelt.
f(2/3) > 0 --> Minimum
f(2) < 0 --> Maximum
Einsetzen der Stellen in f(x):
Maximum bei H(2|0)
Minimum bei T(2/3|-3,56)
Grüße
