Aloha :)
Wir untersuchen die Folge:$$a_n=\frac{x^n}{1+x^{n+1}}\quad;\quad x\ge0$$
1. Fall \(x=0\):
Es gilt \(a_n=0\) für alle \(n\in\mathbb N\), sodass die Folge gegen \(0\) konvergiert.
2. Fall \(0<x<1\):
Da nun \(x=0\) ausgeschlossen ist, schreiben wir den Term zunächst um:$$a_n=\frac1x\cdot\frac{x^{n+1}}{1+x^{n+1}}=\frac1x\cdot\frac{1+x^{n+1}-1}{1+x^{n+1}}=\frac1x\cdot\left(1-\frac1{1+x^{n+1}}\right)$$Wegen \(0<x<1\) geht \(x^{n+1}\) mit wachsendem \(n\) gegen \(0\) und es gilt:$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\frac1x\cdot\left(1-\frac{1}{1+0}\right)=0$$
3. Fall \(x=1\):
Es gilt \(a_n=\frac{1}{1+1}=\frac12\) für alle \(n\in\mathbb N\). Die Folge konvergiert gegen \(\frac12\).
4. Fall \(x>1\):
Wegen \(x>1\) geht \(x^{n+1}\) mit wachsendem \(n\) gegen \(\infty\) und es gilt:$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\frac1x\cdot\left(1-\frac{1}{1+\lim\limits_{n\to\infty}(x^{n+1})}\right)=\frac1x$$
Wir fassen zusammen:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{x^n}{1+x^{n+1}}\right)=\left\{\begin{array}{cl}0 &\text{falls }0\le x<1\\[1ex]\frac12 &\text{falls }x=1\\[1ex]\frac1x &\text{falls }x>1\end{array}\right.$$
