Funktionenschar: Kurvendiskussion: NS, Extrema, Wendepunkte etc.

Question

Gegeben sei die Funktionenschar:
$$ \mathrm{f}_{\mathrm{a}}(\mathrm{x})=2 \mathrm{ax}^{3}+(2-4 \mathrm{a}) \mathrm{x}, \mathrm{a} \in \mathbb{R}, \mathrm{a} \neq 0 $$

a) Führen Sie für a=-0,25 Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Extrema, Wendepunkte) und skizzieren Sie Wendepunkte) und skizzieren Sie anschließend den Graphen von \( f_{-0,25} \) für \( -3 \leq x \leq 3 \)

b) Zeigen Sie, dass alle Graphen zu \( f_a \) durch den Hochpunkt \( H \) der Kurve \( f_{-0,25} \) gehen (siehe Abbildung).

c) Für welches a hat \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \) im Punkt \( \mathrm{H} \) die Steigung \( 6 ? \)

d) Für welches a \( \in \mathbb{R} \) hat \( f_{a} \) keine lokalen Extrema?

e) Für welches a hat die Wendenormale von \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \) die Steigung \( 0,5 ? \)

Answer 1

1a) Für a = -0.25 lautet die Funktion:
f(x) = -1/2 x³ + 3x

Nullstellen: 0 = -1/2x³ + 3x = x*(-1/2 x² + 3)

Daran kann man die erste Nullstelle x₁=0 ablesen. Für weitere Nullstellen muss gelten:
-1/2 x² + 3 = 0
3 = 1/2 x² |*2
6 = x²
x_2/3 = ±√6

Die Nullstellen lauten also:

x₁=0
x_2/3 = ±√6

 

Extrema: Für Extrema gilt f'(x) = 0

0 = -3/2 x² + 3  |+3/2 x²

3/2 x² = 3  | :(3/2)

x² = 2

x_1/2 = ±√2

Um zu überprüfen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, muss das Vorzeichen der zweiten Ableitung überprüft werden:
f''(x) = -3x

f''(√2) < 0 ⇒ Maximalstelle

f''(-√2) > 0 ⇒ Minimalstelle

Mit den dazugehörigen Funktionswerten ergeben sich die Punkte:
Hochpunkt (√2, 2√2)
Tiefpunkt (-√2, -2√2)

 

Wendepunkte: Für einen Wendepunkt gilt f''(x) = 0:
f''(x) = -3x

Der einzig mögliche Wendepunkt liegt bei x=0. Um die Art des Wendepunkts zu bestimmen, prüfe die dritte Ableitung:
f'''(x) = -3 ⇒ Es handelt sich um eine links-rechts-Wendestelle.

Der Punkt lautet (0, 0).


b) Der Hochpunkt lautet (√2, 2√2). Setzt man √2 in die Funktionsgleichung von f_a ein, erhält man:

f(√2) = 2a*2√2 + (2-4a)√2 = 4a√2 + 2√2 -4a√2 = 2√2

also unabhängig von a.

c) Berechne zunächst f'_a(x):

f'_a(x) = 6ax² + 2 - 4a

Nun soll f'_a(√2) = 6 gelten:

6a*2 + 2 - 4a = 6

8a + 2 = 6

8a = 4

a = 1/2

d) Gesucht sind a, für die f'_a(x) = 0 keine Lösungen in x besitzt:
Wegen f''_a(x) = 6ax ist dann für jede gefundene Lösung (abgesehen von a oder x=0 ) auch tatsächlich ein Extrempunkt vorhanden.

0 = 6ax² + 2 - 4a
6ax² = 4a - 2
x² = (4a-2)/6a
x = √(4a-2)/6a)

Diese Wurzel ist nicht definiert, falls der Radikand kleiner ist also 0.

Damit ein Bruch kleiner ist als 0, müssen Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen haben.
Wenn in diesem Fall der Nenner negativ ist, sieht man sehr leicht, dass auch der Zähler negativ ist, denn dort subtrahiert man eine positive Zahl von einer negativen Zahl, also kommt etwas negatives raus.

Ist dagegen der Nenner positiv, dann lässt sich die folgende Ungleichung lösen:

(4a-2)/6a < 0  |*6a
4a -2 < 0  |+2
4a < 2  |:4
a < 1/2

Es gibt also keine Extrema für 0<a<1/2

Zu prüfen sind noch die Randpunkte:

a = 0: f(x) = 2x besitzt keine Extrempunkte

a = 1/2: f(x) = x³ besitzt auch keine Extrempunkte

⇒ f_a besitzt keine Extrempunkte, wenn a∈[0, 1/2]

 

e) Die Wendenormale ist die Gerade, die im Wendepunkt senkrecht auf der Funktion, also auch senkrecht auf ihrer Tangenten steht.

Stehen zwei Funktionen senkrecht aufeinander, dann gilt für ihre Steigungen:

m₁ = -1/m₂

Also muss die Funktion selbst an dieser Stelle die Steigung

m = -1/0.5 = -2

haben.

Gesucht ist also a für f'_a(0) = -2

-2 = 6a 0² + 2 - 4a

-2 = 2-4a  |-2

-4 = -4a  |:(-4)

a = 1