Analoge Formel Kovarianz Beweis

Question

Aufgabe:

Ich soll die folgende analoge Formel der empirischen Kovarianz zeigen:

Text erkannt:

9) ES seien \( \left(x_{1}, y_{1}\right), \ldots,\left(x_{n}, y_{n}\right) \) die Punkte einer Punktewolke,
(i) Z.Z. :
\( S_{x y}=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \cdot y_{i}-\bar{x} \cdot \bar{y} \)

Ich habe damit begonnen, die Formel der Kovarianz aufzuschreiben und auszumultiplizieren. Allerdings hänge ich etwas fest...

Text erkannt:

\( \begin{aligned} S_{x y} &=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right) \\ &=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-x_{i} \bar{y}-\bar{x} y_{i}+\bar{x} \bar{y} \end{aligned} \)

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte. :)

Answer 1

Aloha :)

$$S_{xy}=\frac1n\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)\left(y_i-\overline y\right)=\frac1n\sum\limits_{i=1}^n\left(x_iy_i-\overline x\,y_i-x_i\,\overline y+\overline x\,\overline y\right)$$$$\phantom{S_{xy}}=\frac1n\sum\limits_{i=1}^n x_iy_i-\frac1n\sum\limits_{i=1}^n\overline x\,y_i-\frac1n\sum\limits_{i=1}^n x_i\,\overline y+\frac1n\sum\limits_{i=1}^n\overline x\,\overline y$$$$\phantom{S_{xy}}=\frac1n\sum\limits_{i=1}^n x_iy_i-\overline x\cdot\underbrace{\left(\frac1n\sum\limits_{i=1}^n y_i\right)}_{=\overline y}-\overline y\cdot\underbrace{\left(\frac1n\sum\limits_{i=1}^n x_i\right)}_{=\overline x}+\overline x\,\overline y\cdot\underbrace{\left(\frac1n\sum\limits_{i=1}^n1\right)}_{=\frac1n\cdot n=1}$$$$\phantom{S_{xy}}=\frac1n\sum\limits_{i=1}^n x_iy_i-\overline x\,\overline y-\overline y\,\overline x+\overline x\,\overline y=\frac1n\sum\limits_{i=1}^n x_iy_i-\overline x\,\overline y$$