Für einen geordneten Körper K sei der Betrag ...

Question

Aufgabe: Für einen geordneten Körper K sei der Betrag | · | : K → K,
                                                                                                x → x für x ≥ 0 und -x für x < 0.

Zeigen Sie für alle x, y, z ∈ K

|x + y| ≤ |x| + |y|,

|x − z| ≤ |x − y| + |y − z|,

| |x| − |y| | ≤ |x + y|

(Tipp zur ersten Ungleichung: Quadrieren Sie beide Seiten)

Kann jemand bitte bei dieser Aufgabe helfen? Die ist echt wichtig und ich verstehe nicht wie ich vorgehen soll.

Answer 1

Aloha :)

zu a) Es ist \(\pm x\le|x|\) und \(\pm y\le|y|\), daher gilt:$$x+y\le|x|+|y|\quad\text{und}\quad-(x+y)\le|x|+|y|$$das heißt:$$|x+y|\le |x|+|y|$$

zu b) Wir nutzen die in (a) gezeigte Ungleichung:$$|x-z|=|(x-y)+(y-z)|\stackrel{(a)}{\le}|x-y|+|y-z|$$

zu c) Wieder nutzen wir die in (a) gezeigte Ungleichung:$$|x|=|x-y+y|\le|x-y|+|y|\;\Longleftrightarrow\;|x|-|y|\le|x-y|$$$$|y|=|y-x+x|\le|y-x|+|x|\;\Longleftrightarrow\;|y|-|x|\le|y-x|\;\Longleftrightarrow\;-(|x|-|y|)\le|x-y|$$Zusammengefasst heißt das:$$||x|-|y||\le|x-y|$$

Comments

Wie ist denn das bei der c? Muss man dann alles umdrehen? Weil ||x|–|y|| </= |x–y| sein soll