Untermannigfaltigkeit des R^4

Question

Hallo alle zusammen

||y-x||= L , wobei M:= { (x,y)∈ℝ² ×   ℝ² | || y-x||= L}

Ich muss zeigen ,dass M eine Untermannigfaltigkeit des ℝ⁴ ist.

Mein Ansatz: Ich wollte erst das Differential von M bilden dazu wollte ich aber erst  ||y-x| umformen also \( \sqrt{(y-x)²-(y-x)^2} \)

Und dann das Differential bilden bezüglich der Wurzel.

Bin ich denn soweit richtig?

Danke im Voraus

Comments

Also wenn mein Ansatz richtig sein sollte dann bekomme ich für das Differtential \( \frac{2}{\sqrt{2}} \) raus

Oder wenn (x,y)∈ℝ² × ℝ² kann ich dann sagen, dasss ||y-x||= ||(y₁,y₂) - (x₁-x₂)||

Aber dann weiß ich leider nicht wie ich das Differential bilden soll

Answer 1

Betrachte f(x,y) =  || x-y||.
Dann ist M=f^-1({ℝ2 ×  ℝ2}).
Jacobimatrix von f ist:J(x,y) = 1/f(x,y) * (x1-y1, x2-y2, y1-x1, y2-x2).
Hier muss wahrscheinlich L ≠ 0 vorausgesetzt werden.
Differential surjektiv in (x,y) ⇔ J(x,y) vollen Rang ⇔ J(x,y) ≠ 0.
J(x,y) = 0 ⇔ x=y, aber die Punkte der Form (x,x) gehören nicht zu f^-1({L}).
Also ist Differential f auf M surjektiv. Satz vom regulären Wert liefert den Rest.

Comments

Super ich danke dir!

Ich habe nur nicht verstanden warum, 1/f(x,y) ?

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Das ist was übrig geblieben ist von der Wurzel Ableitung. 1/2 und 2 wurden gekürzt. (Kettenregel)

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Ach stimmt hab jetzt nochmal nachgerechnet

Dankee

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Beachte M=f^-1({ℝ2 ×  ℝ2}), habe es korrigiert.