Einheitskreis im R2 mit Geraden G1,G2,G3,G4.

Question

Aufgabe: Hausaufgaben zu Abbildungen und Einheitskreisen

Problem/Ansatz:

Muss die Hausaufgaben für morgen fertig haben verstehe das Thema aber nicht.

LG Felix

Text erkannt:

Hausaufgabe 1
Es sei \( S^{1} \) der Einheitskreis im \( \mathbb{R}^{2} \). Konstruieren Sie Geraden \( G_{1}, G_{2} G_{3} \) mit den folgenden Eigenschaften. Weisen Sie jeweils nach, dass die von Ihnen angegebenen Geraden die geforderten Eigenschaften haben.
a) Geben Sie eine Gerade \( G_{1} \) an, so dass \( G_{1} \cap S^{1}=\emptyset \) gilt.
b) Geben Sie eine Gerade \( G_{2} \) an, so dass \( G_{2} \cap S^{1} \) aus genau einem Punkt besteht.
c) Geben Sie eine Gerade \( G_{3} \) an, so dass \( G_{3} \cap S^{1} \) aus genau zwei Punkten besteht.
Hausaufgabe 2
Zeigen Sie, dass zu einer Geraden \( G=a+\mathbb{R} v \subset \mathbb{R}^{2} \) eine Gerade \( G^{\prime}=b+\mathbb{R} v \subset \mathbb{R}^{2} \) existiert, sodass \( G=G^{\prime} \) und \( b \) senkrecht auf \( v \) ist.
Hausaufgabe 3
Es sei \( S^{1} \) der Einheitskreis im \( \mathbb{R}^{2}, a \in S^{1} \) und \( c \in \mathbb{R} \). Des Weiteren sei
\( H_{c}(a)=\left\{x \in \mathbb{R}^{2} \mid\langle x, a\rangle=c\right\} \)
a) Zeigen Sie, dass \( H_{c}(a) \) eine Gerade ist.
b) Zeichnen Sie \( H_{c}(a) \) für ein \( a \in S^{1} \) und drei verschiedene \( c_{1}, c_{2}, c_{3} \in \mathbb{R} \).
c) Bestimmen Sie \( H_{c}(a) \cap S^{1} \) in Abhängigkeit von \( c \) für das von Ihnen gewählte \( a \in S^{1} \) aus Aufgabenteil b).
Hausaufgabe 4
a) Es sei \( f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}, f\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)=3 x-2 y \). Skizzieren Sie die Fasern von 0,3 und \( -3 \). Was fällt Ihnen auf?
b) Eine Abbildung \( s: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} \) heißt Schnitt oder partielles Inverses zu \( f \), falls \( f \circ s(t)=t \) für alle \( t \in \mathbb{R} \) gilt. Überprüfen Sie, welche der folgenden Abbildungen \( s \) Schnitte zur Abbildung \( f \) aus Aufgabenteil a) sind:
i) \( s(t)=\left(\begin{array}{c}2 t+1 \\ 3 t\end{array}\right) \)
ii) \( s(t)=\left(\begin{array}{l}t \\ t\end{array}\right) \)
iii) \( s(t)=\left(\begin{array}{c}t \\ t^{2}\end{array}\right) \)
iv) \( s(t)=\left(\begin{array}{c}2 t^{2} \\ 3 t^{2}-\frac{t}{2}\end{array}\right) \)
c) Bestimmen Sie den Durchschnitt \( \left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid f\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)=4\right\} \cap\left\{\left(\begin{array}{c}\lambda \\ 2 \lambda\end{array}\right) \mid \lambda \in \mathbb{R}\right\} \).

Answer 1

Hausaufgabe 1

a) Einmal eine Gerade die den Einheitskreis nicht schneidet.

b) Einmal eine Tangente an den Einheitskreis. Am einfachsten die Gerade \( y = 1 \)

c) Z.B. \( y = x \)

Hausaufgabe 3

a) as Skalarprodukt ergibt die Glleichung \( x a_1 + y a_2 = c \) mit \( a_2 = \sqrt{1-a_1^2} \) nach \( y \) auflösen ergibt die Gerade.

b) Eine Gerade zeichnen sollte gehen

c) Die Schnittpunkte der Geraden mit dem Einheitskreis bestimmen.

Hausaufgabe 4

a) siehe folgendes

b) Z.B. für (i) gilt \( f \circ s (t) \) $$ f \begin{pmatrix} 2t+1 \\ 3t \end{pmatrix} = 3 (2t+1) - 2 \cdot 3t = 3 $$

c) Die Schnittmenge bestimmt sich einerseits aus \( 3x - 2y = 4 \) und aus einer Geraden durch den Punkt \( (1 | 2) \)

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