Winkel aus LGS bestimmen: (I) -G1*cos(alpha)+G2*cos(Beta)=0 und (II) G1*sin(alpha)+G2*sin(Beta)-G3=0

Question

folgendes Problem:

Ich hab 2 Gleichungen gegeben:

1. -G1*cos(alpha)+G2*cos(Betta)=0

2. G1*sin(alpha)+G2*sin(Betta)-G3=0

Nun soll ich jeweils sin(alpha) und sin(betta) bestimmen.

In der Lösung wurde zuerst umgestellt:

1. G1*cos(alpha) = G2*cos(betta)

2. G1*sin(alpha)-G3=-G2*sin(betta)

Bis dahin ist ja noch alles klar. Allerdinsg wird jetzt in der Lösung geschrieben, dass man das ganze Quadrieren und Addieren muss und man dann auf diesen Audruck kommt:

sin(alpha)=(G3^2+G1^2-G2^2)/(2G1*G3)

Sin(betta) ist das selbe Analog.

Aber wie kommt man da drauf? Was meinen die, mit Quadrieren und Addieren? Wenn ich das ganze Quadriere und Addiere erhalte ich doch z.B. Sin^2(betta)+cos^2(Betta) Das wäre doch 1, oder?

Würde mich über Hilfe freuen.

Answer 1

du liegst schon richtig mit deiner Vermutung. Bei beiden Gleichungen quadrierst du beide Seiten und durch addieren kannst du mit Hilfe des Addtionstheorems sin²+cos² = 1 eine Gleichung bekommen die nur von alpha abhängt.

Was du übersehen hast:

Bei Gleichung 2, wenn du die linke Seite quadrierst gilt für die linke seite

(G1sin(alpha) - G3)² = G1²sin²(alpha) - 2G1G3sin(alpha) + G3² = G2²sin²(beta)

Wenn du jetzt die Gleichungen addierst und das obige Additionstheorem verwendest kommst du auf die Lösung.

Gruß