Sei \( \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n, n} \) eine symmetrisch und idempotente Matrix. Dann gilt also
\( \begin{aligned} \mathbf{A}=\mathbf{A}^{2} & \Longrightarrow(\mathbf{A})_{i, i}=\left(\mathbf{A}^{2}\right)_{i, i} \\ & \Longleftrightarrow a_{i, i}=\sum \limits_{k=1}^{n} a_{i, k} a_{k, i} \stackrel{(1)}{=} \sum \limits_{k=1}^{n} a_{i, k}^{2} \geq a_{i, i}^{2} \\ & \Longleftrightarrow a_{i, i} \in[0,1] \end{aligned} \)
In (1) haben wir die Tatsache benutzt, dass A symmetrisch ist, und die letzte Äquivalenz folgt aus der Tatsache, dass \( x \geq x^{2} \) nur für \( x \in[0,1] \) gilt.
