Aloha :)
Wir tragen die Infos aus dem Text erstmal in eine kleine Tabelle ein:$$\begin{array}{l|rr|r} & A\coloneqq\text{Test positiv} & \overline{A}=\text{Test negativ} & \text{Summe}\\\hline B\coloneqq\text{Person hat HIV} & 97\%\cdot(0,6\%\cdot100\,000) & & 0,6\%\cdot100\,000 \\[1ex] \overline B\coloneqq\text{Person gesund} & & 95,5\cdot(99,4\%\cdot100\,000)\% & 99,4\%\cdot100\,000\\\hline\text{Summe} & & & 100\,000 \end{array}$$
Nun multiplizieren wir alles aus und füllen die Lücken durch Addition / Subtraktion:$$\begin{array}{l|rr|r} & A\coloneqq\text{Test positiv} & \overline{A}=\text{Test negativ} & \text{Summe}\\\hline B\coloneqq\text{Person hat HIV} & 582 & 18 & 600 \\[1ex] \overline B\coloneqq\text{Person gesund} & 4\,473 & 94\,927 & 99\,400\\\hline\text{Summe} & 5\,055 & 94\,945 & 100\,000 \end{array}$$
Daraus können wir nun die ersten 3 Antworten bequem ablesen.
$$p_1=\frac{\#A}{100\,000}=\frac{5\,055}{100\,000}=5,055\%$$
$$p_2=\frac{\#(\overline A\cap B)}{100\,000}=\frac{18}{100\,000}=0,018\%$$
$$\#(A\cap\overline B)=4473$$
Jetzt kommen wir zu den Teststreifen. Da die Teststreifen je nur von einer Maschine bearbeitet werden, sind die Ausschussraten voneinander unabhängig. Wir können den Anteil defekter Teststreifen direkt bestimmen:$$p(\text{defekt})=3\%\cdot10\%+4\%\cdot30\%+5\%\cdot60\%=0,045=4,5\%$$
Wenn ein Teststreifen als defekt erkannt wurde, kommt er mit der Wahrscheinlichkeit:$$\frac{p(\text{defekt von 2-ter Maschine})}{p(\text{defekt})}=\frac{4\%\cdot30\%}{4,5\%}\approx26,67\%$$von der zweiten Maschine.
