Zeigen Sie: Boolsche Ring - Ideal

Question

Aufgabe:

Sei R ein Ring mit 1 und der Eigenschaft \( a^{2} \) = a fuer alle a ∈ R. Zeigen Sie:

1) Wenn R keine Nullteiler enthält , dann ist R isomorph zu Z/2Z.

2) Jedes endlich erzeugte Ideal von R ist ein Hauptideal.

Danke im Voraus

Comments

a) Gegenbeispiel: Nullring, falls man den ausschließen möchte argumentiert man über die Nullstellenanzahl von \( x^2 - x \) in R[x]

b) Induktiv:

Jedes endlich erzeugte Ideal ist Hauptideal <=> Jedes von zwei Elementen erzeugte Ideal ist Hauptideal.

=> trivial

<= Induktion

Betrachte anschließend das Ideal <a,b> und zeige, dass a+b+ab ein Erzeuger davon ist.