Zeigen Sie, dass S eine Halbordnung auf M definiert.

Question

Sei M = N × N. Wir definieren die folgende Relation
S := {((a, b), (c, d)) ∈ M × M : [a ≤ c] ∧ [b ≤ d]}.
Zeigen Sie, dass S eine Halbordnung auf M definiert. Überlegen Sie sich, ob S sogar eine Ordnung auf M liefert.

Comments

Welche Eigenschaften muss denn eine Relation erfüllen, um Halbordnung zu sein?

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@ Mathhilf

Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität.

Aber wie wendet man das auf die gegebene Fragestellung an? Wäre das so richtig:

1.)  a ≤ a ∀a∈ℕ --> also Reflexivität

2.)  a ≤ c und c ≤ a ⇒ a = c

    b ≤ d und d ≤ b ⇒ b = d → also Antisymmetrie

3.) a ≤ b und b ≤ c ⇒ a ≤ c

   b ≤ c und c ≤ d ⇒ b ≤ d --> also Transitivität

Beispiel: a = 1 daraus folgt: b = 1, c = 1, d = 1

S:={((1,1),(1,1)∈MxM:[1≤1]∧[1≤1]

S⊂MxM

? Habe das Gefühl das ist nicht ganz korrekt so, oder?

Answer 1

Hallo,

Du hast die richtigen Gedanken. Ich würde mit der Formulierung noch genauer auf die Formalitäten der Aufgabenstellung eingehen. Also etwa:

Reflexivität: Für alle \((a,b) \in M\) gilt: \(a \leq a\) und \(b \leq b\) also \(((a,b),(a,b)) \in S\)

Antisymmetrie: Wenn \(((a,b),(c,d)) \in S\) und \(((c,d),(a,b)) \in S\); dann folgt:

$$a \leq c \text{  und } c \leq a \Rightarrow a=c$$

$$b \leq d \text{  und } d \leq b \Rightarrow b=d$$

Also folgt: \((a,b)=(c,d)\).

...

Für die letzte Frage: Es gilt \(((1,2),(2,1)) \notin S\) und \(((2,1),(1,2))\notin S\)

Gruß Mathhilf

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe! :)

Gruß hermionejeang