Zeigen Sie, dass (a_{n})_{n ∈ ℕ} konvergent ist und bestimmen Sie den Grenzwert.

Question

Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) sei definiert durch

\( a_{n+1}:=1+\frac{a_{n}}{1+a_{n}}, \quad a_{0}:=0 \)
für alle \( n \in \mathbb{N} \). Zeigen Sie, dass \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergent ist und bestimmen Sie den Grenzwert.

Hallo Leute, könnte mir jemand eine musterlösung zu dieser Aufgabe verraten? Ich stecke da irgendwie fest, ich habe folgendes gemacht, aber bin mir mit meiner Lösung ziemlich unsicher ^^ 

Lösung:

\( a_{n+1}=\frac{1+a_{n}+a_{n}}{1+a_{n}}=\frac{1+2 a_{n}}{1+a_{n}} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{0+2 a_{n}}{0+a_{n}}=\frac{2}{1}=2 \)

Ich würde mich über Antworten sehr freuen ^^

Answer 1

Siehe https://www.mathelounge.de/887304/definiere-die-rekursive-folge. Das Vorgehen bei der obigen rekursiven Folge ist gleich.

Comments

Danke, ich habe das jetzt versucht, komme aber trotzdem nicht ganz weiter, weil ich bei der Induktion keine passende Behauptung finden kann ^^

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Ich habe jetzt eine Folge gefunden, die sowohl die Behauptung als auch den Beweis erfüllt, bin ich somit fertig? Komme auf den Grenzwert 2

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Der Grenzwert (nennen wir ihn \(a\)) muss
\( a=1+\frac{a}{1+a} \)
erfüllen.

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Dann ist es doch richtig oder? Weil a konvergiert ja gegen 2

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setze doch mal 2 in den Ausdruck ein, dann siehst du, dass es nicht richtig sein kann.

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Hm, ich wüsste nicht, was dann gehen würde, auch wenn 2 jetzt nicht geht, dann ist meine ganze Rechnung glaube ich falsch

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Es war mir nicht bewusst, dass du das noch nicht erkannt hast, aber die Rechnung in deiner Frage ist nicht richtig (deshalb habe ich die ja den Link zu der Erklärung geschickt).