Für welche λ ∈ R ist die Abbildung surjektiv und für welche injektiv?

Question

Aufgabe:

Sei V ein 3-dimensionaler R-Vektorraum, und sei v1, v2, v3 eine
Basis von V und sei λ ∈ R. Sei ϕ : V → V eine lineare Abbildung, s.d.
ϕ(v1) = v1 + v2, ϕ(v2) = v1 − v2, ϕ(v3) = v1 + λv3.

Für welche λ ∈ R ist die Abbildung surjektiv und für welche injektiv?

Answer 1

Aloha :)

Ich würde mir die Abbildungsmatrix ansehen:$$\phi(v_1;v_2;v_3)=\begin{pmatrix}v_1+v_2\\v_1-v_2\\v_1+\lambda v_3\end{pmatrix}=v_1\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+v_2\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+v_3\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\1 & -1 & 0\\1 & 0 & \lambda\end{array}\right)\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$$Die Determinante der Abbildungsmatrix ist \((-2\lambda)\). Daher ist sie für \(\lambda\ne0\) invertierbar, d.h. für \(\lambda\ne0\) ist die Abbildung surjektiv und injektiv.

Für \(\lambda=0\) verlieren wir die letzte Spalte in der Abbildungsmatrix. Daher gehören unendich viele Vektoren \((0;0;\mathbb R)\) zum Kern der Abbildungsmatrix, also gibt es mehrere Argumente, die auf \(\vec 0\) abbilden, sodass die Abbildung nicht injektiv ist. Die Abbildung ist auch nicht surjektiv, weil z.B. der Bildvektor \((1;0;0)\) nicht erreicht werden kann.