Beweis mit vollständiger Induktion n^2+n

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass für jede natürliche Zahl n gilt: n^2 + n ist gerade.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie ich auf diese Aufgabe die vollständige Induktion anwenden soll. Ich wüsste wie es über einen direkten Beweis machen, aber bei Induktion bin ich leider raus :/

Kann mir da vielleicht jemanden helfen? dankeee

Comments

(n+1)^2 + (n+1) = (n^2 + n) + 2(n+1)

Answer 1

Du fängst zunächst mit dem Ind.anfang an, also du setzt n=1 , dann hast du 1^2+1=2

und 2 ist gerade. Passt.

Dann die Ind.annahme , dass

n^2+n = 2k gilt, wobei k eine natürliche Zahl ist und die Definition von geraden Zahlen das Doppelte einer natürlichen Zahl ist.

Dann kommst du zum Ind.schritt:

Setzt n= n+1:

(n+1)^2+(n+1)

n^2+2n+1+n+1

= n^2+n+2n+2

= 2k+2n+2 (nach Ind.annahme ist n^2+n=2k, also eine gerade Zahl)

2n ist auch gerade und 2 sowieso. Wenn du alle zusammen addierst kommst du immer auf eine gerade Zahl.

So würde ich die Aufgabe lösen.

Answer 2

Hallo :)

gerade -> durch 2 teilbar

IA: n=1

1²+1=2

IV: ∃ n ∈ N: n² + n ist gerade

IB: n -> n+1

(n+1)² + (n+1) ist gerade

IS:

(n+1)² + (n+1)

= n²+2n+1+n+1

=  n²+2n+n+2

= (n²+n)+2(n+1)

ist gerade, da (n²+n) laut IV gerade und 2. Summand Vielfaches von 2

Answer 3

Hallo :-)

Du kannst auch zeigen, dass für alle \(n\in \mathbb{N}\) diese Gleichheit gilt:

$$ \sum\limits_{k=0}^n k=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+n}{2}. $$

Damit hast du sogar zwei Sachen gezeigt: 1.) Die Gleichheit und 2.) Die Summe der ersten natürlichen Zahlen ist eine gerade natürliche Zahl.