Zeigen sie dass die Ereignisse A_i unabhängig sind, und dass die Wahrscheinlichkeit von P(A_i) = 1/i gilt für …

Question

Aufgabe:

Untersuchen sie auf unabhangigkeit ?

Problem/Ansatz:

Für festes n∈N sei Ω :=n die Menge aller Permutationen π der Menge {1,...,n}, versehen mit der diskreten Gleichverteilung P. Für i= 1,...,n sei A_i das Ereignis, dass i ein Rekord ist,
d.h A_i = { π ∈ Ω : π(i) = max_{(1 <= j <= i)} π(j)}

a) Zeigen sie dass die Ereignisse A_i unabhängig sind, und dass die Wahrscheinlichkeit von P(A_i) = 1/i gilt für 1,...,n


was sagt das ereignis Ai genau aus ? wäre meine erste frage

Answer 1

\(A_i\) umfasst jene Permutationen, für welche alle Elemente an Stellen vor der \(i\)ten Stelle kleinere Werte alls das Element an der \(i\)ten Stelle annehmen.

Zur berechnung der Wahrscheinlichkeit müssen wir lediglich \( \left|A_{i}\right| \) berechnen, denn es gilt schliesslich
\(\begin{aligned} \mathrm{P}\left(A_{i}\right)=\frac{\left|A_{i}\right|}{|\Omega|}=\frac{\left|A_{i}\right|}{n !}\end{aligned} \)
Für die Position \( i \) kommen genau die Zahlen \( i, i+1, i+2, \ldots, n \) in Frage, also \( n-i+1 \) Möglichkeiten. Fixieren wir nun eine dieser Möglichkeiten, so können wir vor der Position \( i \) Zahlen aus der Menge \( \{1,2, \ldots, i-1\} \) positionieren, und nach dem \( i \) Zahlen aus der Menge \( \{i+1, i+2, \ldots, n\} \). Für jede solche Wahl können wir die beiden Abschnitte noch permutieren, es ergibt sich also die Formel
\( \begin{aligned} \left|A_{i}\right| &=\sum \limits_{j=i}^{n}\left(\begin{array}{c} j-1 \\ i-1 \end{array}\right)(i-1) !(n-i) !=\sum \limits_{j=i}^{n} \frac{(j-1) !(n-i) !}{(j-i) !}=(n-i) ! \sum \limits_{j=i}^{n} \frac{(j-1) !}{(j-i) !} \\ &=(n-i) ! \sum \limits_{k=0}^{n-i} \frac{(k+i-1) !}{k !}=\frac{(n-i) !}{(i-1) !} \sum \limits_{k=0}^{n-i} \frac{(k+i-1) !}{k !(i-1) !} \\ &=(n-i) !(i-1) ! \sum \limits_{k=0}^{n-i}\left(\begin{array}{c} k+i-1 \\ k \end{array}\right)\stackrel{(1)}{=}(n-i) !(i-1) !\left(\begin{array}{c} n \\ i \end{array}\right) \\ &=\frac{(n-i) !(i-1) ! n !}{i !(n-i) !}=\frac{n !}{i} \end{aligned} \)

(1) Hier habe ich die sogenannte parallele Summenidentität für Binomialkoeffizienten angewandt.

Damit ergibt sich\(\begin{aligned} \frac{\left|A_{i}\right|}{n !}=\frac{n !}{n ! i}=\frac{1}{i}\end{aligned}\)

Die Unabhängigkeit kannst du ja mal alleine versuchen.

Comments

also heißt das A₅ wäre zbs das Ereignis wo alle Werte von der ersten Stelle bis zur 5 stelle kleiner als 5 sind ?

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Nein, A_5 umfasst alle Permutationen für welche die Werte an den Stellen 1 bis 4 kleiner als der Wert an der Stelle 5 sind

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verstehe aber wie will man da die unabhangigkeit beweisen ?

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komme leider nicht weiter

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okay die intuition habe ich verstanden aber wie kommst du von der intuition auf die gleichung da unten?

du hast die menge {1,2,3,..,i-1} die du permutieren kannst und du hast die Menge {i+1,...} die du permutieren kannst aber was danach ? die Formel da unten musst etwas mehr erläutert werden :(

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Naja du kannst ja an die Position \(i\) alle Zahlen grösser gleich \(i\) hinpacken, und je nachdem unterscheiden sich die Mengen an Zahlen welche kleiner bzw. grösser sind als die Zahl an Position \(i\).

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okay aber mich würde es intersieren wie du auf den binomialkoeffzienten kommst

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An Liszt: Angenommen es gäbe die Zufallsvariable X, welche die Anzahl dieser Rekorde gibt. Was denkst du wäre der Wertebereich von X und wäre die Wahrscheinlichkeit, dass X ihren minimalen und maximalen Wert annimmt?