Für welche lambda ∈ ℝ ist die Abbildung surjektiv?

Question

Text erkannt:

Aufgabe 2. Sei \( V \) ein 3-dimensionaler \( \mathbb{R} \)-Vektorraum, und sei \( v_{1}, v_{2}, v_{3} \) eine Basis von \( V \) und sei \( \lambda \in \mathbb{R} \). Sei \( \varphi: V \rightarrow V \) eine lineare Abbildung, s.d.
\( \varphi\left(v_{1}\right)=v_{1}+v_{2}, \quad \varphi\left(v_{2}\right)=v_{1}-v_{2}, \quad \varphi\left(v_{3}\right)=v_{1}+\lambda v_{3} . \)
Für welche \( \lambda \in \mathbb{R} \) ist die Abbildung surjektiv? injektiv?

Weiss jemand wie das geht?

Answer 1

Hallo

a) schreib die Abbildungsmatrix hin, indem due für die vi die Standardbasis nimmst.

oder b) wenn die 3 abgebildeten Vektoren linear unabhängig sind  spannen sie ganz R^3 auf.

c) kann man aus den φ(vi) wieder die vi linear kombinieren

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Für die Abbildungsmatrix \(\Phi\)$$\phi(\vec v_1;\vec v_2\;\vec v_3)\!=\!\begin{pmatrix}\vec v_1+\vec v_2\\\vec v_1-\vec v_2\\\vec v_1+\lambda\vec v_3\end{pmatrix}\!=\!\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\vec v_1+\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\vec v_2+\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda\end{pmatrix}\vec v_3\!=\!\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\1 & -1 & 0\\1 & 0 & \lambda\end{array}\right)}_{\coloneqq\Phi}\begin{pmatrix}\vec v_1\\\vec v_2\\\vec v_3\end{pmatrix}$$kannst du die Determinante bestimmen:$$\operatorname{det}(\Phi)=\left|\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\1 & -1 & 0\\1 & 0 & \lambda\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0\\1 & -1 & 0\\1 & 0 & \lambda\end{array}\right|=-2\lambda$$

Für \(\lambda\ne0\) ist die Determinante \(\ne0\), d.h. die lineare Abbildung umkehrbar und damit sowohl also surjektiv als auch injektiv.

Für \(\lambda=0\) verlieren wir in der Abbildungsmatrix \(\Phi\) die letzte Spalte. Damit gehören unendlich viele Linearkombinationen \((0\cdot\vec v_1+0\cdot\vec v_2+\mathbb R\cdot\vec v_3)\mapsto\vec 0\) zum Kern der Abbildung. Also gibt es unendlich viele Elemente aus \(V\), die auf \(\vec 0\in V\) abbilden, sodass die Abbildung nicht injektiv ist. Die Abbildung ist für \(\lambda=0\) auch nicht surjektiv, weil der Basisvektor \(\vec v_3\) zur Bildung der Zielvektoren nicht mehr zur Verfügung steht (er wird ja immer mit \(0\) multipliziert). Das heißt insbesondere, dass der Vektor \(\vec v_3\) nie in der Zielmenge auftauchen kann.