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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir sollen zeigen, dass$$(x+1)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k\quad;\quad n\in\mathbb N_0$$gilt. Dafür bietet sich eine vollständige Induktion an.
Verankerung bei \(n=0\):$$(x+1)^n\stackrel{(n=0)}{=}(x+1)^0=1=\binom{0}{0}\cdot x^0=\sum\limits_{k=0}^0\binom{0}{k}x^k\stackrel{(n=0)}{=}\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k\quad\checkmark$$
Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):
$$(x+1)^{n+1}=(x+1)(x+1)^n\stackrel{\text{(Ind.Vor.)}}{=}(x+1)\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k$$$$\phantom{(x+1)^{n+1}}=x\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k+\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{k+1}+\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k$$$$\phantom{(x+1)^{n+1}}=\binom{n}{n}x^{n+1}+\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}x^{k+1}+\sum\limits_{k=1}^n\binom{n}{k}x^k+\binom{n}{0}x^0$$$$\phantom{(x+1)^{n+1}}=x^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1}x^{k}+\sum\limits_{k=1}^n\binom{n}{k}x^k+1$$$$\phantom{(x+1)^{n+1}}=x^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}\right)x^{k}+1$$$$\phantom{(x+1)^{n+1}}=x^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}\binom{n+1}{k}x^{k}+1$$$$\phantom{(x+1)^{n+1}}=\binom{n+1}{n+1}x^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}\binom{n+1}{k}x^{k}+\binom{n+1}{0}x^0$$$$\phantom{(x+1)^{n+1}}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}x^{k}\quad\checkmark$$
