Dimension, Basis im Vektorraum bestimmen

Question

Hallo,

kann mir jemand eventuell anhand dieser Aufgabe erklären wie ich die Dimension des Vektorraums und die Basis bestimme?

Und wie zeigt man ob p(x) ein Vektorraum über den Körper K ist?

Text erkannt:

Aufgabe 5.1: Zeigen Sie, dass
\( V=\left\{p(x) \mid p(x)=a_{n} x^{n}+\cdots+a_{1} x+a_{0}, x \in R, \operatorname{Grad}(p)=n, n \in \mathbb{N}\right\} \)
ein Vektorraum über dem Körper \( K=R \) ist.
a) Wie ist die Dimension des Vektorraums V?
b) Geben Sie eine Basis an.

Answer 1

Eine Basis sind die Monome

1, x , x^2 , x^3 , ...

also dim =∞.

Comments

Hallo,

Danke für deine Antwort!

Habe ich die Aufgabe so richtig bearbeitet?

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Ich denke mal, dass man bei G2 und G5 das

auf die Gültigkeit der entsprechenden Gesetze

für die Koeffizienten zurückführen muss.

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Also habe ich etwas falsch gemacht?

Weil ich verstehe gerade nicht ganz was du meinst

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Bei G1, G4 und V5 hatte ich es einfach abgekürzt weil mir das zu viel Schreiberei wurde ansonsten hätte ich es wie bei allen anderen auch ausgeschrieben.

Meintest du denn das?

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Bei G4 z.B. schreibst du nur, dass es erfüllt ist, aber nicht warum

Wenn du etwa hast

\(  p=a_0 + a_1x + ... a_nx^n \)und \(  p=b_0 + b_1x + ... b_kx^k \)

dann meine ich, dass man erst mal feststellen müsste, das man beide

Summen "gleich lang" machen kann, indem man ggf. bei dem

kleineren der beiden Koeffizienten mit dem Wert 0 ergänzt

und hat dann etwa

\(  p=a_0 + a_1x + ... a_nx^n \)und \(  p=b_0 + b_1x + ... b_nx^n \)

und für die Summe

\(  p+q=(a_0+b_0) + (a_1+b1)x + ... (a_n+b_n)x^n \)

und jetzt kommt es: Wegen der Kommutativität in R gilt dann

\(  p+q=(b_0+a_0) + (b_1+a1)x + ... (b_n+a_n)x^n \)

also in der Tat p+q = q+p.

So ähnlich würde ich bei "assoziativ" auch argumentieren.