Mit dem Hinweis auf den Separationsansatz folgt mit \( u(x,y) = v(x) w(y) \)
$$ u_{xx}(x,y) + u_{yy}(x,y) = v''(x) w(y) + v(x) w''(y) = 0 $$ Also
$$ \frac{v''(x)}{v(x)} = -\frac{w''(y)}{w(y)} = \lambda $$
Damit folgt aus den Anfangsbedingungen
$$ w(0) = w(1) = v(0) = 0 $$
Aus der Dgl. $$ w''(y) +\lambda w(y) = 0 $$ folgt im Falle von \( \lambda = 0 \) die Lösung $$ w(y) = c_1 + c_2 y $$ und aus den Anfangsbedingungen für \( w(\cdot) \) folgt \( w(y) = 0 \), also \( u(x,y) = 0 \) im Widerspruch zu $$ u(1,y) = \sin(2\pi y) + \sin(3 \pi y) $$
Wenn \( \lambda< 0 \) gilt, folgt
$$ w(y) = c_1 e^{\alpha y} + c_2 e^{-\alpha y} $$ mit \( \alpha = \sqrt{-\lambda} \in \mathbb{R} \)
Die Anfangsbedingungen für \( w(\cdot) \) ergeben $$ c_1 + c_2 = 0 $$ und $$ c_1 e^{\alpha} + c_2 e^{-\alpha} = 0 $$ und deshalb auch \( w(y) = 0 \) mit dem gleichen Widerspruch wie oben.
Nun zu dem Fall \( \lambda > 0 \)
Hier sind die Lösungen $$ w(y) = c_1 e^{i \alpha y} + c_2 e^{-i \alpha y} $$ mit \( \alpha= \sqrt{ \lambda } \)
Die reellen Lösungen lauten also $$ w(y) = c_1 \cos(\alpha y) + c_2 \sin(\alpha y) $$ Wegen \( w(0) = 0 \) folgt \( c_1 = 0 \) und wegen \( w(1) = 0 \) folgt \( c_2 = \text{oder} \sin(\alpha) = 0 \)
Mit \( c_2 = 0 \) bekommen wir keine Lösungen aus den gleichen wie oben, also muss gelten \( \sin ( \alpha) = 0 \). Daraus folgt
\( \alpha_k= k \pi \) sowie \( \lambda_k = k^2 \pi^2 \) und die Lösungen lauten $$ w_k(y) = \sin( k \pi y) $$
Mit den gefundenen \( \lambda_k \) wird jetzt die Dgl. für \( v( \cdot) \) gelöst. Also
$$ v''(x) = \lambda_k v(x) $$
Die Lösungen lauten $$ v_k(x) = c_1 e^{k \pi x} + c_2 e^{-k \pi x} $$ Aus \( v_k(0) = 0 \) folgt \( c_1 = -c_2 \) und daraus
$$ v_k(x) = c_1 \left( e^{k \pi x} - e^{-k \pi x} \right) = 2 c_1 \sinh(k \pi x) $$
Damit hat man folgende Lösung der Laplace-Gleichung gefunden
$$ u_k(x,y) = v_k(x) w_k(y) $$
Damit ist aber auch jede Linearkombination eine Lösung der Laplace-Gleichung, also
$$ u(x,y) = \sum_{k=1}^n v_k(x) w_k(y) = \sum_{k=1}^n c_k \sinh(k \pi x) \sin( k \pi y) $$
Aus $$ u(1,y) = \sum_{k=1}^n c_k \sinh(k \pi) \sin(k \pi y) = \sin( 2 \pi y) + \sin(3 \pi y) $$ folgt \( c_k= 0 \) außer für \( k=2 \) und \( k= 3 \)
Es ergibt sich \( c_2 = \frac{1}{\sinh(2 \pi)} \) und \( c_3 = \frac{1}{\sinh(3 \pi)} \) und damit zum Schluß die Lösung
$$ u(x,y) = \frac{\sinh(2 \pi x) \cdot \sin(2 \pi y)}{\sinh(2 \pi)} + \frac{\sinh(3 \pi x) \cdot \sin(3 \pi y)}{\sinh(3 \pi)} $$
