lineare Abbildung von Matrix

Question

Aufgabe:

Zeigen sie, dass
f : Q^2×2 → Q ^2×2 mit X → AX + XA, wobei A := \( \left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right) \)

eine lineare Abbildung ist.

Answer 1

Aloha :)

Für \(X,Y\in\mathbb Q^{2\times2}\) gilt:$$f(X+Y)=A(X+Y)+(X+Y)A=AX+AY+XA+YA$$$$\phantom{f(X+Y)}=(AX+XA)+(AY+YA)=f(X)+f(Y)$$Für \(X\in\mathbb Q^{2\times2}\) und \(c\in\mathbb Q\) gilt:$$f(cX)=A(cX)+(cX)A=cAX+cXA=c(AX+XA)=cf(X)$$Die Abbildungsvorschrift erfüllt also die Linearität und die Homogenität.

Daher ist die Abbildung \(f\) linear.