Vektoren Verhältnis Richtung

Question

Aufgabe:

Zerlegen Sie den Vektor a in eine Komponente in Richtung von Vektor e und eine senkrechte dazu.

Text erkannt:

\( a=\left(\begin{array}{c}5 \\ 2 \\ -1\end{array}\right) e=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ -2\end{array}\right) \)

Vielen Dank für eure Hilfe

Answer 1

Hallo,

Zerlegen Sie den Vektor a in eine Komponente in Richtung von Vektor e und eine senkrechte dazu.

heißt doch formal nichts anderes wie$$\vec a = r\vec e + s\vec e^\perp, \quad r,\,s \in \mathbb R$$wobei gilt:$$\vec e \cdot \vec e^\perp =0$$weil diese beiden sollen orthogonal zueinander stehen.

Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit \(\vec e\) führt zu \(r\):$$\begin{aligned} \vec a &= r\vec e + s\vec e^\perp &&|\, \cdot \vec e \\ \vec a \vec e &= r \vec e^2 \\ \implies r &= \frac{\vec a \vec e}{\vec e^2} = \frac{\frac{14}{3}}{1}=\frac{14}{3} \end{aligned}$$Also ist die Komponente in Richtung \(\vec e\)$$r \vec e = \frac{14}{3} \vec e = \frac {14}9 \begin{pmatrix}2\\ 1\\ -2\end{pmatrix}$$und senkrecht dazu ist der Rest$$\begin{aligned}\vec a &= r\vec e + s\vec e^\perp \\ \implies s\vec e^\perp &= a - r\vec e \\  &= \begin{pmatrix}5\\ 2\\ -1\end{pmatrix} -\frac {14}9 \begin{pmatrix}2\\ 1\\ -2\end{pmatrix} = \frac 19 \begin{pmatrix}17 \\ 4 \\ 19\end{pmatrix} \end{aligned}$$und das ganze im Bild:

(klick auf das Bild)

Falls etwas unklar ist, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Antwort korrigiert; \(r=4\) war falsch! Richtig ist \(r=14/3\)

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Viele Dank für deine Antwort :) Habe ich das jetzt richtig verstanden, dass re zum Vektor e geht und se von da aus zu dem Vektor a? Deine Rechnung habe ich verstanden, aber dein Ansatz verstehe ich glaube ich noch nicht komplett. Also ich wäre jetzt nicht von der Aufgabenstellung her daran gekommen

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dass re zum Vektor e geht und se von da aus zu dem Vektor a?

nicht so ganz. Es heißt doch

Zerlegen Sie den Vektor a in eine Komponente in Richtung von Vektor e ...

Eine Komponente in Richtung von Vektor \(\vec e\) ist ein Vielfaches vom Vektor \(\vec e\). Den Faktor (vom Vielfachen) habe ich mit \(r \in \mathbb R\) bezeichnet. Also ist diese erste Komponente \(r\cdot \vec e\).

Weiter heißt es:

... und eine senkrechte dazu.

Das 'dazu' bezieht sich auf den Vektor \(\vec e\). D.h. dieser Vektor - ich nenne ihn jetzt mal \(\vec v\) - steht senkrecht auf \(\vec e\) . Daher muss gelten: \(\vec e \cdot \vec v = 0\).

Und wenn dort steht:

Zerlegen Sie den Vektor a ...

dann heißt dass, \(\vec a\) in (hier zwei) Komponenten zu zerlegen ist, deren Summe natürlich wieder \(\vec a\) ergeben muss. Also $$\vec a = r \vec e + \vec v$$ \(\vec v\) habe ich oben mit \(s\cdot \vec e^\perp\) bezeichnet. Mit dem Ansatz \(|\vec e| = |\vec e^\perp|\). Der Wert für \(s\) gäbe dann die Länge des orthogonalen Vektors in Vielfachen der Länge von \(\vec e\) an. Aber danach war ja gar nicht gefragt.

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Okay vielen Dank für deine Antwort:)