Ich nehme jetzt mal an, die Definition von \( e \) in deiner Vorlesung ist
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e . \)
Die obige Folge ist monoton wachsend, da
\( \begin{aligned} \left(1-\frac{1}{n+2}\right)^{n} \leq 1 \leq\left(1+\frac{1}{n+1}\right) & \Longleftrightarrow\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n} \leq\left(1+\frac{1}{n+1}\right) \\ & \Longleftrightarrow\left(\frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{n+2}{n}}\right)^{n} \leq\left(1+\frac{1}{n+1}\right) \\ & \Longleftrightarrow\left(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n+1}}\right)^{n} \leq\left(1+\frac{1}{n+1}\right) \\ & \Longleftrightarrow\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \leq\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \end{aligned} \)
Änlich ist nachzuweisen, dass die Folge
\(\begin{aligned} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\end{aligned} \)
monoton fallend ist, und offensichtlich
\( \underbrace{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}_{a_{n}} \leq \underbrace{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}}_{b_{n}} \)
gilt.
Es gilt also \( a_{n} \leq b_{n} \) und da beide Folgen beschränkt sind und \( a_{n} \) gegen \( e \) konvergiert, so konvergiert auch \( b_{n} \) gegen \( e \), da
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}-\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}-e \Longleftrightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=e \)
Wir dürfen die Limes Gesetze hier nur anwenden, da wir von beiden Folgen wissen, dass sie konvergieren!
Damit ergibt sich
\(\begin{aligned} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \leq e \leq\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \Longleftrightarrow \frac{e}{1+\frac{1}{n}} \leq\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \leq e\end{aligned} \)
und somit können wir den Fehlerterm abschätzen:
\(\begin{aligned} e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \leq e-\frac{e}{1+\frac{1}{n}}=e-\frac{n e}{n+1}=\frac{e}{n+1} \in \mathcal{O}(n)\end{aligned} \)
