Aloha :)
zu 1) \(\quad M_1=\{x\in\mathbb R\,\big|\,-x^2+x+6\ge0\}\)
Hier können wir die Anforderung an die Elemente umschreiben:
$$-x^2+x+6=-(x^2-x-6)=-(x-3)(x+2)\stackrel{!}{\ge}0\Longleftrightarrow(x-3)(x+2)\stackrel{!}{\le}0$$Damit diese Bedinung erfüllt ist, müssen beide Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben, also muss \(-2\le x\le 3\) gelten, d.h.$$M_1=\{x\in\mathbb R\,\big|\,-2\le x\le3\}$$Die Menge hat das Minimum \((-2)\) und das Maximum \(3\).
zu 2) \(\quad M_2=\{a_n\coloneqq3-\frac2n\,\big|\,n\in\mathbb N\}\)
Wenn man den Nenner eines Bruchs vergrößert, wird der ganze Bruch kleiner. Wir subtrahieren von der \(3\) also mit zunehmendem \(n\) immer kleinere Werte, d.h. die Werte von \(a_n=3-\frac2n\) wachsen streng monoton.
Den niedrigsten Wert erhalten wir daher für \(n=1\) mit \(a_1=1\). Der Bruch \(\frac2n\) geht für wachsende \(n\) gegen \(0\), ohne jedoch jemals \(=0\) zu werden. Wir haben für die \(a_n\) also eine obere Grenze \(3\), die jedoch nie als Wert erreicht wird.
Die Menge hat das Minimum \(1\) und das Supremum \(3\).
zu 3) \(\quad M_3=\{\ln(x+1)\,\big|\,x\in[0;\infty)\}\)
Da die \(\ln\)-Funktion streng monoton wächst, liegt hier das Minimum bei \(\ln(0+1)=\ln(1)=0\). Ein Supremum gibt es nicht, da die \(\ln\)-Funktion ins Unendliche wächst.
