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Wir untersuchen folgende Funktion:$$f\colon\mathbb R\setminus\{1\}\to\mathbb R\setminus\{2\}\;;\;f(x)=\frac{2x-1}{x-1}$$auf Bijektivität. Bevor wir loslegen, vereinfachen wir den Funktionsterm:$$f(x)=\frac{2x-1}{x-1}=\frac{2x-2}{x-1}+\frac{1}{x-1}=\frac{2(x-1)}{(x-1)}+\frac{1}{x-1}=2+\frac{1}{x-1}$$
1) Injektivität
Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird.
Wir prüfen die Injektivität, indem wir annehmen, dass ein Element der Zielmenge von zwei Werfern \(x\) und \(y\) aus der Definitionsmenge getroffen wird:$$f(x)=f(y)\implies2+\frac{1}{x-1}=2+\frac{1}{y-1}\implies\frac{1}{x-1}=\frac{1}{y-1}\implies x=y$$Das heißt im Umkehrschluss:\(\quad x\ne y\implies f(x)\ne f(y)\).
Damit ist die Funktion injektiv.
2) Surjektivität
Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird.
Wir prüfen die Surjektivität, indem wir uns ein beliebiges \(y=f(x)\) aus der Zielmenge herausgreifen und einen Werfer aus der Definitionsmenge suchen, der dieses trifft:$$y=2+\frac{1}{x-1}\implies y-2=\frac{1}{x-1}\stackrel{y\ne2}{\implies}\frac{1}{y-2}=x-1\implies x=1+\frac{1}{y-2}$$Da der Bruch nie \(0\) sein kann, ist es nicht schlimm, dass \(x=1\) nicht in der Definitionsmenge liegt, es wird nicht gebraucht. Da \(y\) beliebig gewählt war, haben wir für jedes Element der Zielmenge ein Element der Definitionsmenge gefunden, das es trifft.
Damit ist die Funktion surjektiv.
3) Bijektivität
Eine Funktion ist bijektiv, wenn jedes Element der Zielmenge genau 1-mal getroffen wird.
Da die Funktion injektiv (höchstens 1 Treffer) und surjektiv (mindestens 1 Treffer) ist, wird jedes Element der Zielmenge genau 1-mal getroffen. Daher ist die Funktion auch bijektiv.
