erwartungstreue Schätzer

Question

Aufgabe:

a) Seien \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) unabhängige mathematische Stichproben vom Umfang \( n \) der Grundgesamtheit \( X . \) Zeigen Sie, dass \( Y_{n}:=\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} X_{i} \) für beliebige Werte \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} \in \mathbb{R} \) mit \( \lambda_{1}+\ldots+\lambda_{n}=1 \) einen erwartungstreuen Schätzer für \( \mathbb{E}[X] \) darstellt.

Problem/Ansatz:

Meine Idee wart, es gilt der Schätzer ist erwartungstreu, wenn \( E[T(Y_{1},...,Y_{n})]=p \) gilt.

Also \( E[T(Y_{1},...,Y_{n})]=E[\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} X_{i}]=... \)

Ist das vom Ansatz her korrekt? Wenn ja wie berechne ich das weiter?

Answer 1

Wenn jede \( \text{ZV}\) \( X_i \) den Erwartungswert \( \text{E}(X) \) hat, folgt sofort

$$  \text{E}(Y_n) = \text{E} \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i X_i \right) = \sum_{i=1}^n \lambda_i \text{E}(X_i) = \text{E}(X) \sum_{i=1}^n \lambda_i = \text{E}(X) $$

Damit ist der Schätzer erwartungstreu.