Folge Grenzwert bestimmen eulersche Zahl

Question

Aufgabe: Grenzwert bestimmen

…

Problem/Ansatz: Hallo,ich verstehe nicht,wie man hier auf den Grenzwert e^{-5/3 kommt} .Mir ist klar,dass (1-1/n)^{n gegen e konvergiert,aber ich verstehe nicht wie man die 5/3 im Exponent in den Zähler bekommt.Und was ist ist mit 3n² im Exponenten passiert.}

Text erkannt:

3. Es gilt
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3 \cdot n^{2}-1}{3 \cdot n^{2}}\right)^{5 \cdot n^{2}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\left(1-\frac{1}{3 \cdot n^{2}}\right)^{3 \cdot n^{2}}\right)^{\frac{5}{3}}=e^{-\frac{5}{3}} . \)

Answer 1

Aloha :)

Für sehr kleine \(x\) ist \(e^x\approx1+x\). Die Näherung wird umso besser, je kleiner \(x\) ist. Haben wir nun ein beliebiges \(x\in\mathbb R\) und halten es fest, können wir für \(n\gg x\) schreiben:$$e^x=\left(e^{\frac xn}\right)^n\stackrel{(n\gg x)}{\approx}\left(1+\frac xn\right)^n$$Man kann zeigen, dass für \(n\to\infty\) sogar Gleichheit gilt:$$e^x=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n$$

Die Umformung in deiner Frage ist ungeschickt, es wäre einfacher, den Bruch mit \(\frac53\) zu erweitern, dann sieht man die \(e\)-Funktion sofort:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{3n^2-1}{3n^2}\right)^{5n^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{3n^2}\right)^{5n^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\frac53}{5n^2}\right)^{5n^2}=e^{-\frac53}$$

Comments

Ok erstmal vielen dank.Ich bin etwas irritiert,da ja  5n²  im Nenner des Bruches steht und außerdem im Exponenten ja 5n²  steht.Aber eine Folge konvergiert doch nur dann gegen e bzw. e^c wenn man einen Ausdruck hat wie : (1+1/n)^n bzw. (1+c/n)^n.

---

Ja, aber für \(n\to\infty\) geht auch \(5n^2\to\infty\) du könntest also auch \(5n^2\) durch eine neue Variable ersetzen, die gegen \(\infty\) läuft:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\frac53}{5n^2}\right)^{5n^2}=\lim\limits_{m\to\infty}\left(1-\frac{\frac53}{m}\right)^m=e^{-\frac53}$$

---

Achs ok,jetzt habe ich es verstanden.Nochmal vielen dank.

Answer 2

Man hat 5n² geschrieben als Produkt \( 3n^2\cdot\frac{5}{3} \).

Comments

Ich verstehe aber nicht,wie man dann auf e^5/3 kommt .