Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Quadrats.

Question

Aufgabe:

Sei ABCD ein Quadrat und sei E der Mittelpunkt von AB, F der von CD. Sei G der von E verschiedene Schnittpunkt des Mitellotes von CD mit dem Kreis durch C,D,E.

Es sei |FG|=1.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Quadrats.

Problem/Ansatz:

Wir würden uns über jede Hilfe und Ansatz freuen.

Comments

Kantenlänge des Quadrats:        a

Radius des Kreises:                    r

Löse das Gleichungssystem

a = 2r - 1

r² = (a/2)² + (r-1)²

Answer 1

Hallo,

Pythagoras für das markierte Dreieck aufstellen und mit \(a=|AB|\) und \(r=|ME|=|MC|=|MG|\), sowie \(e=|FG|\) ist \(2r=a+e\):$$\begin{aligned} r^2&=\left(\frac{a}{2}\right)^2+(r-e)^2 \\ r^2&=\frac{a^2}{4}+r^2-2re+e^2 \\ 0&=\frac{a^2}{4}-2re+e^2 &&|\,2r=a+e\\ 0&=\frac{a^2}{4}-(a+e)e+e^2 \\ 0&=\frac{a^2}{4}-ae-e^2+e^2 \\ 0&=\frac{a^2}{4}-ae \\\frac{a^2}{4}&=ae&&|\,\cdot \frac4a \\a&=4e\end{aligned}$$Für \(e=|FG|=1\) ist \(a^2=16e^2=16\)

Gruß Werner

Answer 2

Der Flächeninhalt ist 16.