Zeigen Sie, dass die Funktion log wohldefiniert ist und …

Question

Hallo! Kann mir jemand bitte bei b helfen? Danke sehr im Voraus.

1. Sei \( a \in(0,1) \cup(1, \infty) \) und betrachten Sie die Funktion \( f_{a}: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty) \), die durch \( f_{a}(x)=a^{x} \) definiert wird.
(a) Warum besitzt die Funktion \( f_{a} \) eine stetige Umkehrfunktion?
(b) Zeigen Sie, dass die Funktion \( \log _{a}:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( \log _{a}(x)=\frac{\ln x}{\ln a} \) wohldefiniert ist und \( f_{a}^{-1}=\log _{a} \).

Answer 1

a)  f ist streng monoton und stetig.

b) wohldefiniert: Wegen a≠1 ist ln(a)≠0, also nie

Probleme mit 0 im Nenner.

log_a( a^x ) =  ln(a^x) / ln( a) = ( x* ln(a) ) / ln(a) = x

also log_a o f = id .

Comments

danke danke!