Monotonie einer Folge beweisen

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass die Folge monoton und beschränkt ist.

a₀ ∈ (0, 2/c)

c > 0

a_n+1 = a_n(2-ca_n)


Problem/Ansatz:

Die Folge ist rekursiv definiert. Ich weiß auch erstmal, wie ich vorzugehen habe, aber ich weiß nicht, wie ich mit dem a₀ und dem c umzugehen habe. So weit bin ich bis jetzt gekommen:

(1) Es gilt a_n > 0, da c > 0 und 0 < a₀ < 2/c

(2) Beweis der Monotonie durch vollst. Induktion über n:

(3) z.z.: 0 ≤ a_n ≤ a_n+1

I.A.: n = 1:

a1 = 2-ca₀ , a2 = 2-2c+c2a₀

Nun hapert es. Wie sehe ich nun, dass (3) gilt?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Rekursive Folge Monotonie beweisen

Stichworte: folge,monotonie,rekursiv

Aufgabe: mit weiterer Teilfrage

Text erkannt:

Aufgabe $1^{*}$ (4 Punkte) Sei $c>0$. Für einen Startwert $x_{0} \in\left(0, \frac{2}{c}\right)$ sei die Folge $\overline{\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}}}$ rekursiv definiert durch
$x_{n+1}=x_{n}\left(2-c x_{n}\right) \text { für } n \geq 0 .$
a) Zeigen Sie, dass die Folge für $n \geq 1$ monoton wächst und beschränkt ist.
b) Zeigen Sie, dass die Folge gegen $\frac{1}{c}$ konvergiert.

Problem/Ansatz:

… Ich weiß nicht wie ich anfangen soll. Kann mir einer helfen?

Danke!

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Diese Frage gab's kürzlich schon mal: https://www.mathelounge.de/903294/monotonie-einer-folge-beweisen.

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Damals unter der Bezeichnung Folge (a_n) .

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Tut mir leid habe das nicht gefunden. Ich habe mir das angeschaut aber habe das nicht verstanden. Soll ich mein Problem dann unter der Frage von PeterLoco schreiben?

Answer 1

Tipp: $a_{n+1}=a_n(2-ca_n)=\dfrac1c-\dfrac{(1-ca_n)^2}c\le\dfrac1c$.

Comments

Um auf die Form zu kommen "ergänze" ich mit +1-1

Das ist mir klar.

1/c wird der Grenzwert sein.

Aber was genau kann ich damit nun machen?

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"(1) Es gilt a_n > 0, da c > 0 und 0 < a_0 < 2/c "

Heisst das, du hast das bewiesen für alle n?

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Nein habe ich nicht. Aber das sollte doch soweit richtig sein.

Das vereinfacht die Rechnung

so war zumindest mein Gedanke :(

....

Weitere Anregungen dazu?

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Mit $a_n\le\frac1c$  für $n\ge1$  zeige zunächst, dass $a_n>0$  gilt. Anschließend zeige, dass die Folge für $n\ge1$ monoton steigend ist.

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Anschließend zeige, dass die Folge für $n\ge1$ monoton steigend ist.

Aber genau das ist doch das, wo ich nicht weiter kommen :/

Wie zeige ich das??

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$a_{n+1}=a_n(2-ca_n)\ge a_n(2-c\cdot\frac1c)=a_n$.

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Ahh ich verstehe.

a_n = a_n(2 - c * $\frac{1}{c}$) = a_n (2-1) = a_n

Und oben wurde schon gezeigt, dass a_n =< 1/c gilt, wodurch die untere Ungleichung auch erfüllt ist. Vielen Dank!

Wenn ich nun die Beschränktheit nachweisen muss, reicht es doch eine obere Grenze nachzuweisen, da ja schon bewiesen ist, dass die Folge monoton wachsend ist, oder?

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Dass die Folge nach oben beschränkt ist, ist doch schon als erstes gezeigt worden. Da die Folge auch monoton steigend ist, folgt Konvergenz.

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$a_n\le\frac1c$ 
$a_n>0$

Hiermit?

Zeige ich das mit vollst. Induktion?

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$a_n\le\frac1c$ gilt für $n\ge1$. Die gesamte Folge ist durch $\frac2c$ nach oben beschränkt. $a_n>0$ kann mit Induktion gezeigt werden.

Answer 2

Ich weiß nicht wie ich anfangen soll. Kann mir einer helfen?

Eine Folge wächst monoton, wenn x(n + 1) ≥ x(n) gilt.
Kannst du das nachweisen?

Comments

Also müsste ich x(n)*(2-c*x(n))≥x(n) beweisen?

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Genau, das muss für die Monotonie gelten