Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe Σ _{n} a_{n} z^{n} .

Question

Aufgabe:

Sei \( \left(a_{n}\right) \) ein beschränkte Folge mit \( \liminf _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|>0 \). Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe \( \sum \limits_{n} a_{n} z^{n} \).

Problem/Ansatz:

Das Problem ist, ich weiß nichtmal genau was ich beweisen soll.

Ich gehe davon aus dass man den Radius nicht genau bestimmen kann sondern nur in Abhänigkeit vom liminf, dafür wollte ich einen Widerspruchsbeweis mit dem Quotientenkriterium führen.

Da ich aber nicht weiß was ich zeigen muss, weiß ich auch nicht wie ich weiter vorgehen soll.

Comments

Du kennst doch sicher die Formel von Cauchy-Hadamard (mit dem lim sup aus der n-ten Wurzel). Was kannst Du damit über den Konvergenzradius aussagen, wenn Du die Info verwendest, dass \(|a_n|\) nach oben beschränkt ist.

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Wenn |a_n| beschränkt ist heißt das, dass unter der Wurzel ein Wert steht, der für n gegen unendlich gegen eine Reelle Zahl x geht. und \( \sqrt[n]{x} \) für n gegen unendlich ist 1 oder?

Also wäre der Konvergenzradius = 1?

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dass unter der Wurzel ein Wert steht, der für n gegen unendlich gegen eine Reelle Zahl x geht

Das heißt es nicht, nimm zum Beispiel die Folge 1,2,1,2,1,2,1,2,....

Es heißt nur, dass eine ober Schranke existiert. Dementsprechend kannst Du nur einen Teil Deiner Überlegungen retten.