f(s + t) = f(s) + f(t) Zeigen Sie, dass f linear ist, d.h., dass es ein a ∈ R gibt mit f(x) = ax

Question

Aufgabe:

Eine stetige Funktion f : R → R erfülle die Funktionalgleichung f(s + t) = f(s) + f(t)
für alle s, t ∈ R. Zeigen Sie, dass f linear ist, d.h., dass es ein a ∈ R gibt mit f(x) = ax
für alle x ∈ R.

Problem/Ansatz:

Leider fehlt mir jeglicher Ansatz und ich wäre über ein paar Denkanstöße sehr dankbar.

Danke im Voraus!

Comments

s=0, t=0 liefert f(0)=0

Dann zeigst du induktiv f(n)=n*f(1) für alle natürliche Zahlen n

Verallgemeinerst das auf ganze Zahlen,

Anschließend auf rationale

Rest folgt dann da Q dicht in R: f(x)=x*f(1), das a ist also immer f(1)

Answer 1

Beobachte: f(0) = f(0+0) = f(0)+f(0) also 0 = f(0)

und f(2) = f(1+1) = f(1) + f(1) = 2f(1)

Per vollst. Induktion folgt f(n) = n*f(1). Also ist das gesuchte a=f(1)

Dann gilt für alle n∈ℕ  0 = f(0) = f(n+(-n)) = f(n) + f(-n)

==>   f(-n) = - f(n) . Somit gilt f(x)=a*x für alle x∈ℤ.

Dann für 1/n. Es ist a = f(1) = f( 1/n + 1/n + 1/n ... )   [ n Summanden]

                                      = f(1/n) + f(1/n) + .....   [ n Summanden]

==>           a = n * f(1/n)  also f(1/n) = a/n = a * (1/n)

So auch für alle rationalen Zahlen f(p/q) = a* (p/q).

Sei nun x irrational. Dann gibt es eine Folge rationaler

Zahlen, die gegen x konvergiert. Wegen der Stetigkeit von f

konvergiert die Folge der Funktionswerte

( die alle f(a*x)=a*f(x) erfüllen .) gegen den Funktionswert von x.