Definition von stetig an einer Stelle

Question

Aufgabe:

Eine reelle Funktion \( f \) heißt stetig an einer Stelle \( x_{0} \in \mathbb{R} \) mit \( U_{\delta}\left(x_{0}\right) \subset D_{f} \) für ein \( \delta>0 \), wenn gilt

1. der Grenzwert \( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \) existiert

und

2. \( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right) \).

Problem/Ansatz:

Hallo :) kann mir bitte einer erklären was genau diese Definition bedeuten soll ?

Vielleicht auch an einem kleinen Beispiel? So kann ich es denke ich gleich am einfachsten nachvollziehen :)

Comments

Hast du bereits Grenzwerte nicht verstanden oder hast du Schwierigkeiten mit \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)\)?

---

Grenzwerte habe ich verstanden auch die links und rechtsseitigen bzw einseitigen usw.

genau wie du sagst habe ich Schwierigkeiten

 \( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right) \) zu verstehen.

Ich versuche mal zu erklären wo ungefähr das Problem liegt bzw. das was ich verstanden habe:

Einen Grenzwert gegen x_{0} untersuche ich doch um zu prüfen ob ich an dieser Stelle eine Stetigkeit/ Ergänzbare Stetigkeit etc. habe.

Und dies mache ich teilweise in dem ich den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert untersuche.

Jetzt soll ich aber von f(x) den Grenzwert gegen x_{0} untersuche.

Angenommen das habe ich und es existiert ein Grenzwert.

Was soll ich dann nochmal genau bei 2. machen?

Da geht es dann nicht weiter.

Vorausgesetzt das alles was ich gesagt habe stimmte so.

Answer 1

Die Funktion

        \(f(x) = \frac{x^2 - 5x+6}{x-3}\)

ist an der Stelle \(x=3\) nicht definiert. Deshalb ist sie dort nicht stetig. Die Bedingung \( U_{\delta}\left(x_{0}\right) \subset D_{f} \) ist nicht erfüllt.

Die Funktion

        \(g(x) = \begin{cases}\frac{x^2 - 5x+6}{x-3}&x\neq 3\\2&x=3\end{cases}\)

ist an der Stelle \(x=3\) definiert. Es ist \(\lim\limits_{x\to 3}g(x) = 1\). Allerdings ist \(g(3) = 2\neq 1\). Deshalb ist sie dort nicht stetig. Die Bedingung \( \lim\limits_{x \to x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right) \) aus der Definition ist nicht erfüllt.

Die Funktion

        \(h(x) = \begin{cases}\frac{x^2 - 5x+6}{x-3}&x\neq 3\\1&x=3\end{cases}\)

ist an der Stelle \(x=3\) definiert, es ist \(\lim\limits_{x\to 3}h(x) = 1\) und \(h(3) = 1\). Deshalb ist sie dort stetig.

Answer 2

Betrachte die beiden Parabelstücke:

~plot~ (x^2+1)*(x>0); (x^2+2)*(x<0) ~plot~.

Im Bereich >0 hat man für x gegen 0 den Grenzwert 1.

Anschaulich: Wenn man auf dieser Kurve geht bis man die

Stelle mit x=0 erreicht hat, kommt man an bei y=1.

Wenn man auf dem anderen Parabelstück kommt,

kommt man bei y=2 an, also ist der

Grenzwert für x gegen 0 dort die Zahl 2.

Wenn die beiden übereinstimmen, sagt man:

Es gibt DEN Grenzwert für x gegen 0.

Wenn außerdem dieser Wert auch der

Funktionswert ist, ist der Funktionsgraph an dieser

Stelle quasi eine durchgehende Linie, das heißt,

dass die Funktion dort stetig ist.

Answer 3

Eine reelle Funktion f heißt stetig an einer Stelle \( x_{0} \in \mathbb{R} \), wenn jeder Grenzwert \( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \) gleich dem Funktionswert an dieser Stelle ist.

Beispiel: f(x)=\( \frac{x^2}{x} \) an der Stelle x₀=0:

Jeder Grenzwert \( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \)=0

Der Funktionswert existiert aber nicht.

Also ist jeder Grenzwert \( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \) nicht gleich dem Funktionswert an der Stelle x₀=0.

Die Funktion ist an der Stelle x₀=0 nicht stetig.

Answer 4

Aloha :)

Du betrachtest einen Punkt \(x_0\in\mathbb R\), der um sich herum eine Umgebung \(U_\delta(x_0)\) hat, sodass du dich um den Punkt \(x_0\) herum in alle Richtungen mit Radius \(\delta>0\) frei bewegen kannst. Dann heißt die Funktion stetig im Punkt \(x_0\), wenn:

1) der Grenzwert \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) exisitert.

Das heißt, auf allen(!) möglichen Wegen, die es innerhalb der Umgebung \(U_\delta(x_0)\) zum Punkt \(x_0\) gibt, näherst du dich immer demselben Funktionswert an. Dieser Wert ist der Grenzwert an der Stelle \(x_0\). Im 1-dimensionalen Fall gibt es nur zwei Wege, du kannst dich von links \(x<x_0\) und von rechts \(x>x_0\) dem Punkt \(x_0\) nähern.

2) \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)

Diese Bedingung besagt, dass der Grenzwert gegen \(x_0\) auch tatsächlich gleich dem Funktionswert an der Stelle \(x_0\) sein muss. Es könnte ja z.B. sein, dass du zwar auf allen möglichen Wegen zum Punkt \(x_0\) einen Hügel hochläufst und genau in der Mitte des Hügels ist ein winziges Loch, weil der Funktionswert \(f(x_0)\) vom Grenzwert abweicht.

Comments

Im 1-dimensionalen Fall gibt es nur zwei Wege

Es gibt sicherlich mehr, aber auf den übrigen wird nichts anderes mehr passieren.