Aufgabe:
3 Ableitungen von f(x)=x×e^-2x
\( \mathrm{u}(\mathrm{x})=\mathrm{x} \)
\( \mathrm{v}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\wedge}\{-2 \mathrm{x}\} \)
\( \mathrm{u}^{\prime}(\mathrm{x})=1 \)
\( \mathrm{v}^{\prime}(\mathrm{x})=-2 \mathrm{e}^{\wedge}\{-2 \mathrm{x}\} \)
\( f^{\prime}(x)=\left[1\left(e^{-2 x}\right)+x\left(-2 e^{-2 x}\right)\right] \)
\( =1 e^{-2 x}-2 x \cdot e^{-2 x}=(1-2 x) \cdot e^{-2 x} \)
\( f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v^{\prime}(x) \)
\( u^{\prime}(x)=1 \quad v^{\prime}(x)=-2 e^{-2 x} \)
\( \left.v^{\prime}(x)=-2 e^{-2 x}\left(-2 e^{-2 x}\right)\right] e^{-2 x}= \)
\( (1-2 x) \cdot e^{-2 x} \)
\( u^{\prime}(x)=2 \)
\( v^{\prime}(x)=-2 e^{-2 x} \)
\( f^{\prime \prime}(x)= \)
\( \left[2\left(e^{-2 x}\right)+(1-2 x) \cdot\left(-2 e^{-2 x}\right)\right] \)
\( =2 e^{-2 x}+1-2 x \cdot\left(-2 e^{-2 x}\right) \)
\( =2 e^{-2 x}+1\left(+4 x e^{-2 x}\right) \)
\( =2 e^{-2 x}+4 x e^{-2 x} \)
\( =e^{-2 x}(2+4 x) \)
\( f^{\prime \prime \prime}(x)= \)
\( \left[4\left(e^{-2 x}\right)+(2+4 x) \cdot\left(-2 e^{-2 x}\right)\right] \)
\( =4 e^{-2 x}+2\left(-8 x e^{-2 x}\right) \)
\( =4 e^{-2 x}+16 x e^{-2 x} \)
\( =e^{-2 x}(4+16 x) \)
Das ist was ich gemacht habe allerdings bin ich unsicher ob das richtig ist.
