Zeige, dass f eine Umkehrfunktion von g ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei f(x)=a^x und g(x)=log_a(x)

Zeige, dass f eine Umkehrfunktion von g ist.

Verwenden sollte man, dass die Exponentialfunktion eine Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus ist.

Meine Rechenweg:

f(x)=a^x /log

f(x)= log_a(x)

Meine Frage:

Ist mein Rechenweg richtig? es scheint mit zu simple zu sein...

Answer 1

Es gilt \(\log_a(x)=\ln(x)/\ln(a)\). Hiermit erhalten wir

\((g\circ f)(x)=\log_a(a^x)=\ln(a^x)/\ln(a)=x\ln(a)/\ln(a)=x\) und

\((f\circ g)(x)=a^{\log_a(x)}=e^{\ln(a^{\log_a(x)})}=e^{\log_a(x)\ln(a)}=\)

\(e^{(\ln(x)/\ln(a))\cdot \ln(a)}=e^{\ln(x)}=x\).

Answer 2

Meine Rechenweg:

y=a^x   /log_a

log_a(y)=x

x und y vertauschen:

log_a(x)=y

Comments

Du darfst natürlich nicht das benutzen, was zu beweisen ist, sondern du sollst dem Hinweis folgen !

Answer 3

\( y=\log _{a}(x) \)
\( a^{y}=a^{\log _{a}(x)} \)
\( a^{y}=x \)
\( x, y \) Tausch:
\( y=a^{x} \)

Comments

Auch an dich die Frage : Woher weißt du, dass   \( a^{\log _{a}(x)} = x\)  ist ?

Die Aufgabe besteht darin, eben das zu beweisen !

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Könnest du dann eventuell die andern korrigieren, wenn die falsch liegen? oder auf meine frage direkt richtig antworten?

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die andern korrigieren, wenn die falsch liegen müssen die anderen schon selber oder zumindest ihre falschen Antworten zurückziehen. Ich kann sie lediglich auf ihre Fehler hinweisen. Wenn die Aufgabe lautet "Beweise den Satz des Pythagoras" und jemand schreibt als Antwort "Der gilt, weil a^2 + b^2 = c^2 ist", dann sollte doch ein begründeter Hinweis auf die Unzulänglichkeit einer solchen "Beweisführung" ausreichen.

auf meine frage direkt richtig antworten ist nicht so mein Ding, weil ich überzeugt bin, dass Aufgaben selbständig bearbeitet (im besten Fall sogar gelöst) werden sollten. Sie erfüllen Übungs- und Diagnosezwecke (sowohl Qualität des Lehrers als auch des Lernenden), beides wird durch Fremdlösungen unterlaufen. Und wenn ich auch der Ansicht bin, dass fertige Aufgaben-Lösungen kein Mittel zum nachhaltigen Lernerfolg darstellen, so haben Fragesteller falsche Antworten dennoch nicht verdient.
Im übrigen gibt es ja genug Leute (hier z.B. e.), die dich mit der richtigen Lösung versorgen.

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lol wenn ich mit einer Aufgabe nicht zurecht komme, frage ich doch um Hilfe bzw. Frage wo mein Fehler liegt und wie ich auf die Lösung komme... und wenn du der Meinung bist, dass jeder seine aufgaben selbständig lösen sollte, hast du meiner Meinung nach, hier nichts zu suchen, wenn du keine Hilfe bist und hier unter den Kommentaren rum rumpöbelst

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unter den Kommentaren rum rumpöbelst

Da hast du mich noch nicht beim Rumpöbeln erlebt.

Auf deine Frage  Ist mein Rechenweg richtig? wird durch meine Kommentare besser eingegangen als durch die sogenannten "Antworten", die doch nur in einer Wiederholung deines Fehlers bestehen aber die Qualität deines Ansatzes überhaupt nicht bewerten.