Wie sind die Rechenschritte von (5) nach (6) und von (6) nach (7) zu erklären?

Question

Aufgabe: Rechenschritt bei Anwendung von cos (alpha minus beta)

Problem/Ansatz:

(1) cos (610° + 300°)
(2) = cos [(630°– 20°) + (270 + 30°)]
(3) = cos [900°– 20° + 30°]
(4) = – cos (30° – 20°)  [weil cos 900° = –1 ist]
(5) = – cos 30° cos 20° – sin 30° sin 20° [Formel sin (alpha – beta) durch das Minuszeichen vor cos 30° verändert]
(6) = sin 300°(–sin (610°) – cos 300°(–cos 610)
(7) = cos 610° cos 300° – sin 610° sin 300°

Wie sind die Rechenschritte von (5) nach (6) und von (6) nach (7) zu erklären?

Answer 1

"Wie sind die Rechenschritte von (5) nach (6) und von (6) nach (7) zu erklären? "

Genügt dir das Stichwort "Periodizität und Symmetrie der Cosinus- und Sinuskurve aufgrund der Definition am Einheitskreis?

Zudem: In Zeile 6 fehlt eine schliessende Klammer.

Ist das Fernziel der Umformung das Addtitionstheorem für den Cosinus beweisen?

Comments

Ja, die Rechnung (auch das Fehlen der schließenden Klammer) stammt aus einem alten Schullehrbuch (Hanxleden-Hentze, Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten. Oberstufe: Geometrie. Vieweg Braunschweig 1949) und soll zeigen, wie man cos (alpha plus beta) auch für Winkel (alpha plus beta) größer als 90° anwenden kann.

Ich verstehe ungefähr, aber nicht genau, dass von (5) zu 6) der Wechsel von 20° und 30° zu 300° und 610° mit der Periodizität zu tun hat. Ebenso verwirren mich die Vorzeichenwechsel in mehreren der Rechenschritte, zumal von (6) nach (7).
Für weitere Aufklärung wäre ich daher dankbar! Oder für einen Hinweis, wo ich diese Zusammenhänge plausibel erklärt finde!

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(6) = sin 300°(–sin (610°) )– cos 300°(–cos 610°)

Plus mal Minus gleich Minus mal Plus. Minus mal Minus gibt Plus

(6b) = - sin 300° *sin (610°) + cos 300° * cos 610°

Summanden vertauschen:

(7) = cos (300° ) * cos (610°) - sin (300°) * sin (610°)

Ergänze bitte die fehlenden Klammern. Der Editor frisst sie vielleicht.

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Und wie ist die Veränderung der Sinus- und Kosinus-Werte von (5) nach (6) gerechtfertigt?

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Tipp: Meditiere mal ein paar Minuten lang, wenn du zuschaust, wie sich die Zeiger im ersten Quadranten und dann auch im Einheitskreis bewegen.

Kann es sein, dass du die Nummerierung in eine bessere Reihenfolge bringen sollst? Was genau ist die Fragestellung im Buch?

Link vergessen: https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Definition_am_Einheitskreis

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Die Meditation, allerdings nicht über den Einheitskreis, sondern über die Aufgabe, brachte die Lösung. Die Sprünge von cos 30° nach dem gleichwertigen sin 300° bzw. von cos 20° nach dem ebenfalls gleichwertigen – sin 610° sind gerechtfertigt dadurch, dass die Aufgabe (1) cos (610° + 300°) lautet und diese beiden Werte in der Lösung (7) = cos 610° cos 300° – sin 610° sin 300° wiederkehren müssen. Danke für die Hilfe!

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Perfekt. Schönen Nachmittag!

Answer 2

Von (6) nach (7) ist es ja nur eine Umstellung der Reihenfolge.