Cauchy-Schwarzsche Ungleichung zeigen

Question

Aufgabe:

Es sei \( n \in \mathbb{N} \) beliebig.

(a) Für \( a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R} \) gilt
\(\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \leq \sqrt{n}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k}^{2}\right)^{1 / 2}\)

(b) Für \( a_{1}, \ldots a_{n} \in \mathbb{R} \) und \( 0<p<1 \) gilt
\(\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \leq\left(\sum \limits_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2 p}\right)^{1 / 2}\left(\sum \limits_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2-2 p}\right)^{1 / 2}\)

Problem/Ansatz:

Wie wendet man hier die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung an?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Ungleichungen wie zeigen

Stichworte: lineare-algebra,ungleichungen,summe

Aufgabe:

Es sei \( n \in \mathbb{N} \) beliebig.

(a) Für \( a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R} \) gilt
\(\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \leq \sqrt{n}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k}^{2}\right)^{1 / 2}\)

(b) Für \( a_{1}, \ldots a_{n} \in \mathbb{R} \) und \( 0<p<1 \) gilt
\(\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \leq\left(\sum \limits_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2 p}\right)^{1 / 2}\left(\sum \limits_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2-2 p}\right)^{1 / 2}\)

Problem/Ansatz:

Hier sollen glaube ich jeweils die Ungleichungen gezeigt werden hat da jemand einen Plan?

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Benutze die Cauchy Schwsrz Ungleichung

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Wie lautet denn die CSU - in Deinen Bezeichnungen?

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a) Betrachte das (Standard)Skalarprodukt \( \left\langle (1,....,1) , (a_1,...,a_n) \right\rangle \)

b) Betrachte das (Standard)Skalarprodukt \( \left\langle (|a_1|^p,...,|a_n|^p) , (|a_1|^{1-p},...,|a_n|^{1-p}) \right\rangle \)

und verwende

$$ \sum_{k=1}^n a_k \le \sum_{k=1}^n |a_k| $$

Answer 1

a)  Verwende \(  \vec{v}=  \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ \dots \\a_n \end{pmatrix} \)

und \(  \vec{u}=  \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ \dots \\1 \end{pmatrix} \) also n Komponenten vom Wert 1.

Cauchy-Schwarz liefert |<u,v>| ≤ ||u||*||v||

==>   \(|\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} | \leq \sqrt{n}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k}^{2}\right)^{1 / 2}\)

Und wenn du links den Betrag weglässt, stimmt es erst recht;

denn die rechte Seite ist ja sicher nicht negativ.