Hallo Audrey,
bei Aufgaben, bei denen zwei Zahlen mit bekannter Differenz gesucht werden, die dann quariert werden, lohnt es sich oft, nur nach der mittleren Zahl zu suchen.
a) Eine Zahl ist um 8 größer als eine andere Zahl.
Ist 'eine Zahl' \(x\) und die 'andere Zahl' (die kleinere) \(y\), so kann man schreiben$$x=z+4\\y=z-4$$Die Zahl \(z\) liegt genau in der Mitte zwischen den beiden gesuchten Zahlen.
Die Summe der Quadrate beider Zahlen ist 544.
Nun einfach das formal hinschreiben was da steht:$$\begin{aligned}x^2+ y^2 &= 544&&|\,x,\,y\space \text{Einsetzen}\\ (z+4)^2 + (z-4)^2&=544\\ z^2 + 8z + 16 + z^2 - 8z + 16 &= 544\\2z^2 + 32 &= 544&&|\, - 32\\ 2z^2 &= 512&&|\,\div 2\\ z^2 &= 256 &&|\,\sqrt{}\\z &= \pm 16\end{aligned}$$Der Vorteil liegt darin, dass der 'gemischte Term' (hier \(8z\)) entfällt. Am Ende muss man nur die Wurzel ziehen und dann gibt es auch immer zwei Lösungen eine positive und eine negative.
Also gibt es auch zwei Lösungen für die gesuchten Zahlen \(x\) und \(y\):$$z_1 = 16 \implies x_1=20 \quad y_1 = 12\\z_2 = -16 \implies x_2=-12 \quad y_2 = -20$$
b) Multipliziert man zwei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen, erhält man 323.
Hier geht es genauso. Zwischen zwei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen \(x\) und \(y\) befindet sich eine gerade Zahl, die nenne ich wieder \(z\). Es ist$$x = z-1 \\ y= z+1$$und dann soll das Produkt 323 ergeben:$$\begin{aligned}(z-1)(z+1) &= 323 \\ z^2 - 1 &= 323 &&|\,+1\\z^2 &= 324&&|\,\sqrt{}\\z &= \pm 18\end{aligned}$$Und damit ergeben sich wieder zwei Lösungen mit den Paaren \((x,\,y)_1=(17,19)\) und \((x,\,y)_2=(-19,\,-17)\).
mache bitte die Probe.
Gruß Werner
