Sei K ein Körper, E ein Zwischenkörper von K(X)/K ≠ K. (a) zeige, [K[X]:E]< ∞

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper, E ein Zwischenkörper von K(X)/K ≠ K..

(a) zeige, [K[X]:E]< ∞
(b) E/K ist transzendent

Meine Idee:

(a) für den fall [K[X]:K]<∞ ist [K[X]:E]<∞
  Für den Fall [K[X]:K] von unendlichem Grad fehlt mir der Ansatz.
  Kann mir jemand helfen?

Comments

Ist wirklich \([K[X]:K]\) gemeint oder \([K(X):K]\) ?

---

Ich denke auch es ist [K(X):K] gemeint oder?

---

Oh ja, mein Fehler sorry....

---

Ja, das denke isch auch; denn \([K[X]:E]\) ist im allgemeinen

gar nicht definiert, da ja \(E\) keine Teilmenge von \(K[X]\)

sein muss.

Übrigens: \([K(X):K]\lt\infty\) kann nicht auftreten, da \(X\) eine

Unbestimmte über \(K\) ist.

Answer 1

Zu a):

Sei \(\alpha \in E\backslash K\). Dann gibt es \(f,g\in K[X]\) mit

\(\alpha=f/g\), also \(\alpha g-f=0\). Das ist eine algebraische

Gleichung für \(X\) über E, folglich ist \(K(X)=E(X)\) eine einfache algebraische

Erweiterung von \(E\) und damit \([K(X):E]\lt \infty\).

Zu b):

Wäre \(E/K\) algebraisch, dann wäre wegen der "Transitivität

des Algebraischseins" und wegen \(K(X)/E\) algebraisch, auch

\(K(X)/K\) algebraisch, also \(X\) keine Unbestimmte über \(K\).