Laplace-Transformation mit Hilfe des Faltungssatzes

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die OriginalFunktion folgender Bildfunktionen mit Hilfe des Faltungssatzes:

\( L^{-1}\left[\frac{1}{s^{2}-3 s}\right] \)

Problem/Ansatz:

Hallo,
ich habe Probleme bei der Berechnung der Originalfunktion des mit des Faltungssatzes. Bei meiner Lösung bekomme ich 0 heraus.

Mein Lösungsansatz:

$$\frac{1}{s^2-3s}=\frac{1}{s}*\frac{1}{s-3} \rightarrow \text{ laut Laplace Transformationstabelle }\frac{1}{s}=1  \text{ und }\frac{1}{s-3}=e^{3*t}$$

Ich verstehe nicht so ganz wie ich jetzt f1(u)*f2(u-t) einsetzen soll?

Answer 1

$$ H(s) = F(s) \cdot G(s) $$ mit \( F(s) = \frac{1}{s} \) und \( G(s) = \frac{1}{s-3} \)

Also

\( f(t) = 1 \) und \( g(t) = e^{3t} \) daruas

$$ \mathcal{L}^{-1} \{ H(s) \} = ( f \star g) (t) = \int_0^t f(\tau) g(t-\tau) d\tau = \int_0^t e^{3( t- \tau) } d\tau = \frac{e^{3t} -1 }{3} $$