spannende Geraden skizzieren (sin, cos)

Question

Aufgabe:

Für jedes \( \varphi \in[0,2 \pi[ \) betrachten wir die Gerade
\( g_{\varphi}=\left\{\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=t \cdot\left(\begin{array}{c} \sqrt{2} \cos \varphi \\ \sqrt{2} \sin \varphi \\ -1 \end{array}\right)+(1-t) \cdot\left(\begin{array}{c} -\sqrt{2} \sin \varphi \\\sqrt{2} \cos \varphi \\1\end{array}\right) \mid t \in \mathbb{R}\right\} \)
(a) Jede der Geraden verbindet Punkte zweier Kreislinien miteinander, nämlich
\(K_{-1}=\left\{\left(\begin{array}{c}\sqrt{2} \cos \varphi \\ \sqrt{2} \sin \varphi\end{array}\right) \mid \varphi \in\left[0,2 \pi[\}, \text { und } K_{1}=\left\{\left(\begin{array}{c} -\sqrt{2} \sin \varphi \\\sqrt{2} \cos \varphi \\1\end{array}\right) \mid \varphi \in[0,2 \pi[\} .\right.\right.\right. \)
Skizzieren Sie die Geraden für \( \varphi \in\{0, \pi / 2, \pi, 3 \pi / 2\} \).

(b) Setzen Sie die Punkte \( \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{\top} \) der Geraden \( g_{\varphi} \) in die Gleichung
\( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=1 \)
ein. Was fällt auf? Welche Quadrik beschreibt die Gleichung?

Problem/Ansatz:

wie löst man diese Aufgabe bzw. wie geht man hier vor?

Answer 1

Hallo,

wie löst man diese Aufgabe bzw. wie geht man hier vor?

indem man das tut, was da steht! ;-)

zu (a) ich habe Dir die Geraden und die beiden Kreise und ein paar Extras (blau) im Geoknecht3D eingegeben:

(klick auf das Bild)

zu (b) wenn man die Geradengleichung einsetzt, ... $$\begin{aligned} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}&=1 \\ 2(t\cdot \cos(\varphi) - (1-t)\sin(\varphi))^2 + 2(t\cdot \sin(\varphi) + (1-t)\cos(\varphi))^2 - (1-2t)^2 &= 1 \\ 2t^2 + 2(1-t)^2 - (1-2t)^2&= 1 \\ 2t^2 + 2-4t+2t^2 - 1+4t-4t^2&= 1 \\ 1&= 1 \\ \end{aligned}$$... dann ist diese Gleichung unabhängig von \(t\) immer erfüllt. Und \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=1\) ist die Gleichung des einschaligen Hyperboloiden. Stichwort 'Kühlturm'.

Gruß Werner

Answer 2

b)  Einsetzen zeigt: Alle Punkte der Geraden erfüllen die Gleichung.

Es ist ein einschaliges Hyperboloid.

siehe auch http://www.mathematische-basteleien.de/hyperboloid.htm