Nun, da ich keine Proteste gegen meine Vermutung
vernommen habe, hier meine Argumentation:
Es sei \(K=F_5\). Der Exponent 24 in dem zu zerlegenden
Polynom P ist "verdächtig":
Ist nämlich \(L/K\) eine quadratische Erweiterung, so hat
die multiplikative Gruppe \(L^*\) gerade 25-1=24 Elemente.
Die 24 Elemente \(\neq 0\) von \(L\) sind gerade die verschiedenen
Nullstellen \(\neq 0\) dieses Polynoms (über \(L\) betrachtet).
Ist nun \(\alpha\in L\backslash K\), so ist das Minimalpolynom
von \(\mu_{\alpha}\) über \(K\) vom Grad 2. Da jedes dieser
Minimalpolynome 2 Nullstellen in \(L\) besitzt, gibt es
\(|L\backslash K|/2=(25-5)/2=10\) verschiedene Minimalpolynome,
die alle Teiler von P sind, d.h.
P besitzt 4 lineare Faktoren (die zu den Nullstellen in K
gehören) und 10 quadratische Faktoren, die zu den nicht
im Grundkörper liegenden Elementpaaren gehören.
---------------------------------------------------
Konkrete Faktorisieung:
Ein quadratisches Polynom \(X^2+aX+b\) ist genau dann
irreduzibel, wenn seine Diskriminante
\(a^2-4b=a^2+b\) kein Quadrat ist, also
\(a^2+b\in \{2,3\}\) ist.
Man prüft leicht nach, dass
\(M:=\{(a,b): \; a^2+b\in \{2,3\}\}=\)
\(=\{(0,2),(1,1),(2,3),(3,3),(4,1),(0,3),(1,2),(2,4),(3,4),(4,2)\}\)
ist. Damit ergibt sich die Zerlegung von P zu
P=\(\prod_{i=1}^4(X-i)\prod_{(a,b)\in M}(X^2+aX+b)\)
