Limes ,Ist meine Loesung korrekt?

Question

Aufgabe:

Ist meine Loesung korrekt?

\( \begin{aligned} & \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^{2}+3 n+1}-n\right) \\ \Rightarrow & \sqrt{n^{2}+3 n+1}-n \cdot\left(\frac{\sqrt{n^{2}+3 n+1}+n}{\sqrt{n^{2}+3 n+1}+n}\right) \\ \Rightarrow & \frac{n^{2}+3 n+1-n}{\sqrt{n^{2}+3 n+1}+n}=\frac{n^{2}\left(1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{n}\right)}{n^{2}\left(\sqrt{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n}}\right)} \end{aligned} \)

\( \Rightarrow \frac{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}}+\frac{1}{n}}=\frac{1+0+0-0}{\sqrt{1+0+0}+0}=\frac{1}{1}=1 \)

Answer 1

Dein Ansatz ist schon richtig. Aber irgendetwas ist wohl schiefgelaufen. Besser so:
Erweitern gemäß dritter binomischer Formel liefert$$\begin{aligned}\sqrt{n^2+3n+1}-n&=\frac{(\sqrt{n^2+3n+1}-n)\cdot(\sqrt{n^2+3n+1}+n)}{\sqrt{n^2+3n+1}+n}\\&=\frac{(n^2+3n+1)-n^2}{\sqrt{n^2+3n+1}+n}\\&=\frac{3n+1}{\sqrt{n^2+3n+1}+n}\\&=\frac{n\cdot\big(3+\frac1n\big)}{n\cdot\left(\sqrt{1+\frac3n+\frac1{n^2}}+1\right)}\\&=\frac{3+\frac1n}{\sqrt{1+\frac3n+\frac1{n^2}}+1}\end{aligned}.$$Der Zähler strebt gegen 3 und der Nenner gegen 2.

Comments

oh danke! ich sollte -n^2 schreiben dann mit n^2 kurzen

Answer 2

In der dritten Zeile muss der Zähler des linken Terms auf ...-n² enden, nicht nur auf ...-n.

Comments

Der lim ist falsch.

3. Zeile im Nenner: vor der Klammer muss n stehen, nicht n^2.

Das n nach der Wurzel bleibt außerhalb der Wurzel.

Der lim ist 3/2.

https://www.wolframalpha.com/input?i=lim+%28n%5E2%2B3n%2B1%29%5E0.5+-n

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warum darf man die nicht mit n^2 machen?

ich dachte, dass ich mit der grossten Product kurzen soll

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Klammere erst n^2 unter der Wurzel aus und ziehe dann Teilwurzeln.

Das ist der sicherste Weg. :)