Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren

Question

AUFGABE: Eigenwerte und Eigenvektoren.

Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren fuer
die folgenden Matrizen. Geben Sie fuer jede Matrix an,
ob sie diagonalisierbar ist (mit Begruendung), und ob
sie invertierbar ist (mit Begruendung).
Teil 1:
[ 1 5 0 ]
[ 0 1 0 ]
[ 0 0 4 ]

Answer 1

Hi,

wo genau liegt dein Problem ? Die Vorgehensweise ist nicht kompliziert, berechne das Charakteristische Polynom da bekommst Du die algebraische Vielfachheit, dann hast Du die Eigenwerte, mit den Eigenwerten dann kannst Du die Eigenvektoren und die geometrische Vielfachheit ausrechnen, mit dem Vergleich der geometrischen und algebraischen Vielfachheit kannst du dann eine Aussage über die Diagonalisierbarkeit treffen.

Answer 2

Bei einer Dreiecksmatrix stehen die Eigenwerte in der Diagonalen,

hier also 1 und 4. Die algebraische Vilefachheit von 1 ist 2.

Die Matrix \(A-1\cdot E_3\) hat offenbar den Rang 2,

also hat der Kern die Dimension 1, d.h. der Eigenwert 1

hat die geometrische Vielfachheit 1 ...

\((1,0,0)^T\) spannt den Eigenraum zu 1 auf,

\((0,0,1)^T\) den Eigenraum zu 4.

Da gibt es eigentlich nichts zu rechnen ;-)