Rand eines Oberflächenintegrals bestimmen

Question

Es sei \( B \subset \mathbb{R}^{2} \) die abgeschlossene Einheitskreisscheibe und \( g: B \rightarrow \mathbb{R} \) eine strikt positive, stetig differenzierbare Funktion. Wir definieren die Fläche \( F \subset \mathbb{R}^{3} \) durch

\( F:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}:(x, y) \in B, z=\left(1-x^{2}-y^{2}\right) g(x, y)\right\} . \)
Bestimmen Sie das Oberflächenintegral
\( \int \limits_{F}\langle\operatorname{rot}(\vec{v}), \vec{n}\rangle \mathrm{d} \sigma, \)
wobei \( \vec{n} \) den Einheitsnormalenvektor mit positiver \( z- \) Komponente bezeichne und das Vektorfeld \( \vec{v}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) durch
\( \vec{v}(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} x^{2}+y z \\ \sqrt{1+y^{2}} \\ \sin (z) \cos (x) \end{array}\right) \)
gegeben ist.

Wie schaffe ich es bei solch einer Aufgabe den Rand der Fläche zu definieren. Ich habe schon mehrere Aufgaben von dem Typ gehabt und bin mir immer unsicher, wie ich \( \partial F \) aufgestellt bekomme.

Comments

Könntest Du denn eine Parametrisierung für die Fläche F aufstellen?

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Nein das bekomme ich nicht. Gibt es da ein festes Vorgehen wie bspw ein Kochrezept oder so etwas?

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Ein Kochrezept kenne ich nicht. Aber in dieser Aufgabenstellung ist ja eine (!) Parametrisierung praktisch mitgeliefert, nämlich:

$$T:B \to \mathbb{R}^3, \quad T(x,y):=\begin{pmatrix}x \\ y\\ (1-x^2-y^2)g(x,y)\end{pmatrix}$$

Wenn man eine solche Parametrisierung für F hat und den Rand bestimmen will, ist es immer eine Idee, sich die Werte auf dem Rand des Definitionsbereichs anzusehen, also hier auf dem Einheitskreise \(x^2+y^2=1\). Für diese Werte ist:

$$T(x,y):=\begin{pmatrix}x \\ y\\ 0\end{pmatrix}$$

Das ist der Rand von F, also der Einheitskeis in der Ebene z=0.

Allerdings muss man immer schauen, ob dieses Vorgehen (Rand des Definitionsbereichs) auch ein plausibles Ergebnis liefert. Dazu könnte man sich mal die Fläche für die Funktion g=1 von einem CAS zeichnen lassen .....

Gruß Mathhilf

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Ahhh okay, das habe ich dann verstanden. Danke. Ich habe mir gerade mal ein Mathepeter Video angeschaut, und mir die Parametrisierung erklären lassen. Ich versuche es mal bei anderen Aufgaben :)

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Gegeben seien die Flächen

\( F_{\pm}:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2} \pm z=1, \pm z \geq 0\right\} \subset \mathbb{R}^{3} . \)
\( G \subset \mathbb{R}^{3} \) sei das von \( F_{+} \)und \( F_{-} \)eingeschlossene Gebiet und \( \gamma \) die Schnittkurve der Flächen \( F_{+} \) und \( F_{-} \).

Wie würde es dann hier gehen?

Eine mögliche Parametrisierung wäre ja wahrscheinlich

$$\begin{pmatrix} x\\y\\x^2+y^2 \end{pmatrix}$$

Wie komme ich dann auf den Rand? Auch wieder mit dem Einheitskreis?

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Besser: Neue Aufgabe: Neuer Post

Answer 1

Aloha :)

Die Menge \(B\subset\mathbb R^2\) ist die abgeschlossene Einheitskreisscheibe. Zur ihrer Beschreibung drängen sich daher Polarkoordinaten auf:$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;1]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$

In der Megne \(F\) werden diese Punkte um eine \(z\)-Koordinate erweitert:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\(1-x^2-y^2)g(x;y)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\(1-r^2)g(r;\varphi)\end{pmatrix}\quad;\quad g(r;\varphi)>0$$

Das Oberflächenintegral wandeln wir mit dem Stoke'schen Satz in ein Wegintegral um:$$I=\int\limits_F\left(\vec\nabla\times\vec v\right)\,d\vec f=\oint\limits_{\partial F}\vec v\,d\vec r$$

Der geschlossene Rand ist nun der Umfang der Kreisscheibe für \(r=1\), d.h. in der Parametrisierung dieses Randes verschwindet die \(z\)-Koordinate, wegen des Faktors \((1-r^2)=0\). Unser Abtast-Vektor für den Rand lautet daher:$$\vec r=\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$

Damit wird das gesuchte Integral zu:$$I=\oint\limits_0^{2\pi}\vec v(\varphi)\,\frac{d\vec r}{d\varphi}\,d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\begin{pmatrix}\cos^2\varphi\\\sqrt{1+\sin^2\varphi}\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\0\end{pmatrix}d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^{2\pi}(-\sin\varphi)\cos^2\varphi\,d\varphi+\int\limits_0^{2\pi}\cos\varphi\cdot(1+\sin^2\varphi)^{\frac12}d\varphi=0+0=0$$