Zunächst mal ist die Ungleichung nicht definiert für
|x| = 1,
da dann durch 0 geteilt werden müsste.
Es ist also klug, die Ungleichung einzeln für die vier möglichen Bereiche
x > 1, 0<x<1, -1<x<0, x<-1
zu betrachten.
x>1: |x|=x
(2x+2)/(1-x) ≤ x
Insbesondere ist (1-x) nun kleiner als 0, also muss das Relationszeichen umgedreht werden, wenn man damit malnimmt:
2x + 2 ≥ x-x²
x²+x+2 ≥ 0
(x+1/2)² -1/4 + 2 ≥ 0
(x+1/2)² ≥ -7/4
Das Quadrat einer reellen Zahl ist immer positiv, also ist die Ungleichung für alle x im betrachteten Bereich erfüllt.
0<x<1: Es gilt immer noch |x|=x, allerdings ist nun (1-x) größer als 0:
2x + 2 ≤ x - x²
Das führt analog zu
(x+1/2)² ≤ -7/4
was mit der selben Begründung wie oben dieses mal aber nicht lösbar ist.
-1<x<0: |x|=-x und 1-|x| > 0:
(2x+2)/(1+x) ≤ x
2x + 2 ≤ x+x²
x²-x-2 ≥ 0
(x-1/2)² ≥ 9/4
(x-1/2)² - 9/4 ≥ 0
Nun kann man links die dritte binomische Formel anwenden:
(x-1/2-3/2)*(x-1/2+3/2) ≥ 0
(x-2)*(x+1) ≥ 0
Diese Gleichung ist erfüllt, wenn beide Faktoren dasselbe Vorzeichen haben. Im Bereich zwischen 0 und -1 geht der linke Faktor von -2 bis -3, ist also immer negativ, der rechte geht von 1 bis 0, ist also immer positiv ⇒ die Gleichung besitzt in diesem Bereich keine Lösung.
Bleibt noch der vierte Bereich: x<-1: |x|=-x, 1-|x| < 0, das ergibt völlig analog die Gleichung:
(x-2)*(x+1) ≤ 0
diese Gleichung ist erfüllt, wenn beide Faktoren ein unterschiedliches Vorzeichen haben.
Für x < -1 sind aber beide Faktoren stets negativ, auch hier ist die Gleichung also nicht lösbar.
Insgesamt ist die Lösung also x ≥ 1.
