Lineare Unabhängigkeit vs. Erzeugendensystem

Question

Problem/Ansatz:

die Vektoren (siehe Bilder) sind

linear unabhängig.

Meine Frage: diese zwei Vektoren bilden jedoch kein Erzeugendensystem, sondern sind nur linear unabhängig.

Ein Erzeugendensystem in ℝ² bilden nur die beiden Vektoren: {(1,0),(0,1)} und keine weitern. Da der Span des GS nur aus den Einheitsvektoren besteht?

Ist das korrekt?

\( \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ \wedge\end{array}\right),\left(\frac{1}{2}\right)\right\} \)

Ich habe leider den Unterschied zwischen linearer unabhängig und Erzeugendensystem noch nicht ganz verstanden.

Comments

Die beiden Vektoren bilden durchaus ein Erzeugendensystem.
Dein Vektorraum besitzt unendlich viele Erzeugendensysteme.

Answer 1

Aloha :)

Die beiden Vektoren bilden sowohl ein Erzeugendensystem des \(\mathbb R^2\) als auch eine Basis. Du kannst jeden beliebigen Vektor durch diese beiden Vektoren ausdrücken:$$\binom{a}{b}=(2a-b)\cdot\binom{1}{1}+(b-a)\cdot\binom{1}{2}$$

Answer 2

Ich schreibe mal die Vektoren als Zeilenvektroren.

Ein beliebiger Vektor (a,b) lässt sich als Linearkombination

der beiden Vektoren (1,1) und (1,2) schreiben:

(a,b)=(2a-b)(1,1)+(b-a)(1,2), d.h.

mit den beiden von dir genannten Vektoren lässt sich

jeder Vektor als Linearkombination erzeugen.

Also bilden diese Vektoren ein Erzeugendensystem.

Ah, Tschakabumba war schneller !